Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean los planos $\pi_1$ y $\pi_2$, determinados respectivamente por las ecuaciones $\pi_1: x + y = 3$ y $\pi_2: x - z = -2$.

a) Encuentre la ecuación general ($Ax + By + Cz + D = 0$) del plano $\pi_3$, que es perpendicular a $\pi_1$ y $\pi_2$, y que pasa por el punto $P = (4, 1, 2)$. [0,75 puntos]
b) Sea $r$ la recta de intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$. Calcule la ecuación vectorial de la recta $r$. [0,75 puntos]
c) Calcule el punto $Q$ de la recta $r$ que está más cerca del punto $P$. [1 punto]

$\textbf{a) Encuentre la ecuación general (} \boldsymbol{Ax + By + Cz + D = 0}\textbf{) del plano } \boldsymbol{\pi_3}\textbf{, que es perpendicular a } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{, y que pasa por el punto } \boldsymbol{P = (4, 1, 2)}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Si $\pi_3$ es perpendicular a los otros dos planos, su vector normal es perpendicular a los vectores normales de ambos, y un vector perpendicular a dos vectores dados es su producto vectorial.

$\vec n_1=(1,1,0), \qquad \vec n_2=(1,0,-1)$

$\vec n_3=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}=(-1,\,1,\,-1)$

$\pi_3:\ -x+y-z+D=0$

$P(4,1,2)\in\pi_3 \Rightarrow -4+1-2+D=0 \Rightarrow D=5$

$\pi_3:\ -x+y-z+5=0 \quad\text{o, cambiando de signo,}\quad \pi_3:\ x-y+z-5=0$

El plano pedido es $\pi_3: x-y+z-5=0$.

$\textbf{b) Sea } \boldsymbol{r}\textbf{ la recta de intersección de } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{. Calcule la ecuación vectorial de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Para escribir la ecuación vectorial necesitamos un punto de la recta y un vector director. El vector director es perpendicular a los dos normales, es decir, el mismo producto vectorial del apartado anterior.

$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=(-1,1,-1)$

Un punto se obtiene dando un valor a una de las incógnitas en el sistema formado por los dos planos. Tomamos $z=0$.

$\begin{cases} x+y=3 \\ x-z=-2 \end{cases} \xrightarrow{\ z=0\ } \begin{cases} x=-2 \\ -2+y=3 \Rightarrow y=5 \end{cases} \Rightarrow P_0(-2,5,0)$

$r:\ (x,y,z)=(-2,5,0)+t\,(-1,1,-1), \quad t\in\mathbb{R}$

La ecuación vectorial de $r$ es la anterior; el vector director se puede tomar también como $(1,-1,1)$, que es proporcional.

$\textbf{c) Calcule el punto } \boldsymbol{Q}\textbf{ de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ que está más cerca del punto } \boldsymbol{P}\textbf{. (1 punto)}$










El punto de $r$ más próximo a $P$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$. Y aquí no hay que construir nada nuevo: el plano $\pi_3$ del apartado a) pasa por $P$ y tiene por normal el vector director de $r$, luego es perpendicular a $r$. Basta cortarlo con la recta.

$Q\in r:\ (-2-t,\ 5+t,\ -t)$





Sustituimos las coordenadas de $Q$ en la ecuación de $\pi_3$ y despejamos el parámetro.

$(-2-t)-(5+t)+(-t)-5=0$

$-2-t-5-t-t-5=0 \Rightarrow -3t-12=0 \Rightarrow t=-4$

$x=-2-(-4)=2, \qquad y=5+(-4)=1, \qquad z=-(-4)=4$

$Q(2,1,4)$

Comprobamos que $Q$ está en los dos planos que definen la recta: $2+1=3$ y $2-4=-2$.

La distancia mínima vale, además,

$d(P,r)=|\overrightarrow{PQ}|=|(2-4,\,1-1,\,4-2)|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \text{u}$

El punto de la recta $r$ más próximo a $P$ es $Q(2,1,4)$, y está a $2\sqrt{2}$ unidades de $P$.