Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Nuria tiene un jardín rectangular y quiere hacer en él un cercado (rectangular o cuadrado) de $8\ \mathrm{m^2}$ para su perro. Ha pensado poner el cercado tocando el muro del jardín, tal como se muestra en la figura de la derecha, para ahorrarse así uno de los cuatro lados.
El precio de la valla que quiere utilizar es de 2,5 €/m.



a) ¿Qué dimensiones ha de tener el cercado para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es este coste mínimo? [1,75 puntos]
b) Si mantiene la forma rectangular o cuadrada del cercado y hace que uno de los vértices del jardín coincida con un vértice del cercado, ¿cuántos euros se puede ahorrar? Razone cómo pondría el cercado y justifique con cálculos matemáticos las dimensiones de su propuesta. [0,75 puntos]

$\textbf{a) ¿Qué dimensiones ha de tener el cercado para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es este coste mínimo? (1,75 puntos)}$










Llamamos $x$ al lado paralelo al muro e $y$ a cada uno de los dos lados perpendiculares. Como el muro sustituye a uno de los cuatro lados, solo se vallan tres.

$\text{superficie:}\quad x\,y=8 \Rightarrow x=\dfrac{8}{y}$

$\text{valla:}\quad L=x+2y$





Sustituimos $x$ para dejar la longitud de valla en función de una sola variable, y minimizamos.

$L(y)=\dfrac{8}{y}+2y, \qquad y>0$

$L'(y)=-\dfrac{8}{y^2}+2$

$L'(y)=0 \Rightarrow 2=\dfrac{8}{y^2} \Rightarrow y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2$

Se descarta $y=-2$ porque $y$ es una longitud y ha de ser positiva.

$L''(y)=\dfrac{16}{y^3} \Rightarrow L''(2)=\dfrac{16}{8}=2>0 \Rightarrow \text{en } y=2 \text{ hay un mínimo.}$

Al ser el único extremo de $L$ en $(0,+\infty)$, ese mínimo relativo es el absoluto.

$y=2 \Rightarrow x=\dfrac{8}{2}=4$

$L=4+2\cdot 2=8\ \text{m} \Rightarrow \text{coste}=8\cdot 2{,}5=20\ \text{€}$

El cercado más barato mide 4 m de lado pegado al muro y 2 m de fondo, y cuesta 20 €.

$\textbf{b) Si mantiene la forma rectangular o cuadrada del cercado y hace que uno de los vértices del jardín coincida con un vértice del cercado, ¿cuántos euros se puede ahorrar? Razone cómo pondría el cercado y justifique con cálculos matemáticos las dimensiones de su propuesta. (0,75 puntos)}$










Colocando el cercado en un vértice del jardín se aprovechan los dos muros que forman la esquina, de modo que solo hay que vallar dos lados. La superficie sigue siendo la misma.

$x\,y=8 \Rightarrow x=\dfrac{8}{y}$

$L=x+y=\dfrac{8}{y}+y, \qquad y>0$





$L'(y)=-\dfrac{8}{y^2}+1=0 \Rightarrow y^2=8 \Rightarrow y=2\sqrt{2}$

$L''(y)=\dfrac{16}{y^3}>0 \ \ \text{para } y>0 \Rightarrow \text{es un mínimo.}$

$y=2\sqrt{2} \Rightarrow x=\dfrac{8}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

El cercado óptimo es ahora un cuadrado de lado $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ m.

$L=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66\ \text{m} \Rightarrow \text{coste}=4\sqrt{2}\cdot 2{,}5=10\sqrt{2}\approx 14{,}14\ \text{€}$

$\text{ahorro}=20-10\sqrt{2}\approx 20-14{,}14=5{,}86\ \text{€}$

Poniendo el cercado en una esquina del jardín, en forma de cuadrado de $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ m de lado, la valla cuesta $10\sqrt{2}\approx 14{,}14$ €, con lo que se ahorran unos 5,86 €.