Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $\lambda$:

$\begin{cases} x + 2\lambda y + (2+\lambda)z = 0 \\ (2+\lambda)x + y + 2\lambda z = 3 \\ 2\lambda x + (2+\lambda)y + z = -3 \end{cases}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $\lambda$. [1,25 puntos]
b) Para el caso $\lambda = -1$, resuelva el sistema, interprételo geométricamente e identifique su solución. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\lambda & 2+\lambda \\ 2+\lambda & 1 & 2\lambda \\ 2\lambda & 2+\lambda & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix} 1 & 2\lambda & 2+\lambda & 0 \\ 2+\lambda & 1 & 2\lambda & 3 \\ 2\lambda & 2+\lambda & 1 & -3 \end{pmatrix}$

$|A|=1+8\lambda^3+(2+\lambda)^3-3\cdot 2\lambda(2+\lambda)$

$|A|=1+8\lambda^3+8+12\lambda+6\lambda^2+\lambda^3-12\lambda-6\lambda^2=9\lambda^3+9$

$|A|=9\left(\lambda^3+1\right)=9(\lambda+1)\left(\lambda^2-\lambda+1\right)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} \lambda+1=0 \Rightarrow \lambda=-1 \\ \lambda^2-\lambda+1=0 \Rightarrow \text{sin soluciones reales } (\Delta=1-4=-3<0) \end{cases}$

Si $\lambda\neq -1$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $\lambda=-1$, la matriz ampliada es

$A^*=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 3 \\ -2 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1+2=3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix}=-3+12+0-(0+3+6)=9-9=0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para todo $\lambda\neq -1$ y compatible indeterminado para $\lambda=-1$; no es incompatible para ningún valor del parámetro.

$\textbf{b) Para el caso } \boldsymbol{\lambda = -1}\textbf{, resuelva el sistema, interprételo geométricamente e identifique su solución. (1,25 puntos)}$

Para $\lambda=-1$ el sistema es

$\begin{cases} x-2y+z=0 \\ x+y-2z=3 \\ -2x+y+z=-3 \end{cases}$

Como el rango es 2, sobra una ecuación. Nos quedamos con las dos primeras, que son las del menor no nulo, y pasamos $z$ al segundo miembro.

$\begin{cases} x-2y=-z \\ x+y=3+2z \end{cases}$

Restando la primera de la segunda:

$3y=3+3z \Rightarrow y=z+1$

$x=3+2z-y=3+2z-(z+1)=z+2$

$\begin{cases} x=2+\lambda' \\ y=1+\lambda' \\ z=\lambda' \end{cases} \quad \lambda'\in\mathbb{R}$

Interpretación geométrica: cada ecuación es un plano del espacio. Sus vectores normales, $(1,-2,1)$, $(1,1,-2)$ y $(-2,1,1)$, no son proporcionales dos a dos, así que los tres planos son distintos y no hay ninguna pareja de planos paralelos. Al ser el sistema compatible indeterminado con un solo parámetro, los tres se cortan a la vez en una recta: forman un haz de planos cuya arista es esa recta.

$r:\ (x,y,z)=(2,1,0)+\lambda'\,(1,1,1),\quad \lambda'\in\mathbb{R}$

Para $\lambda=-1$ el sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta $r$ que pasa por $(2,1,0)$ y tiene vector director $(1,1,1)$: es la recta en la que se cortan los tres planos.