Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Sea $f'(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{si } x \le 2 \\ \dfrac{1}{x-1}, & \text{si } x > 2 \end{cases}$ la función derivada de una función derivable $f(x)$ que pasa por el punto $A = (0, 3)$.

a) Calcule la función $f(x)$. [1,5 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f'(x)$ en el punto de abscisa $x = 3$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Conocer $f'(x)$ significa conocer $f(x)$ salvo una constante en cada trozo, así que integramos por separado en cada rama y después fijamos las dos constantes con las condiciones del enunciado.

$\text{Si } x\leq 2: \quad f(x)=\int (x-1)\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+K_1$

$\text{Si } x>2: \quad f(x)=\int \dfrac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|+K_2=\ln(x-1)+K_2$

En la segunda rama el valor absoluto se puede quitar porque, para $x>2$, se tiene $x-1>1>0$.

La primera constante sale de que la gráfica pasa por $A=(0,3)$, y $x=0$ pertenece a la primera rama.

$f(0)=3 \Rightarrow \dfrac{0^2}{2}-0+K_1=3 \Rightarrow K_1=3$

La segunda constante sale de la continuidad en $x=2$: el enunciado dice que $f$ es derivable, y toda función derivable es continua.

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\dfrac{4}{2}-2+3=3, \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=\ln(2-1)+K_2=\ln 1+K_2=K_2$

$3=K_2 \Rightarrow K_2=3$

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2}{2}-x+3, & \text{si } x\leq 2 \\[4pt] \ln(x-1)+3, & \text{si } x>2 \end{cases}$

Conviene observar que $f$ es efectivamente derivable en $x=2$, porque las dos ramas de $f'$ coinciden allí: $2-1=1$ y $\frac{1}{2-1}=1$.

La función buscada es la definida a trozos anterior, que vale $\frac{x^2}{2}-x+3$ hasta $x=2$ y $\ln(x-1)+3$ a partir de ahí.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 3}\textbf{. (1 punto)}$

Ahora la función que se deriva es $f'(x)$, y como $3>2$ hay que usar su segunda rama. La pendiente de la tangente será, por tanto, $f''(3)$.

$f'(x)=\dfrac{1}{x-1}=(x-1)^{-1} \Rightarrow f''(x)=-(x-1)^{-2}=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$

$f'(3)=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$

$f''(3)=\dfrac{-1}{(3-1)^2}=-\dfrac{1}{4}$

$y-f'(3)=f''(3)\,(x-3) \Rightarrow y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}(x-3)$

$y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{4}$

La recta tangente a la gráfica de $f'(x)$ en el punto de abscisa $x=3$ es $y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{4}$.