Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2023

Considere las dos matrices siguientes:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

a) Calcule las matrices $A \cdot B$ y $B \cdot A$. [1,5 puntos]
b) Sean $C$ y $D$ dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfagan $C \cdot D = C$ y $D \cdot C = D$. Compruebe que las dos matrices, $C$ y $D$, son idempotentes. [1 punto]
Nota: Una matriz cuadrada se llama idempotente si coincide con su cuadrado.

$\textbf{a) Calcule las matrices } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{ y } \boldsymbol{B \cdot A}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Multiplicamos fila por columna. Las dos matrices son cuadradas de orden 3, así que los dos productos existen y son también de orden 3.

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 4+3-5 & 4+3-10 & 0+0-5 \\ -2-4+5 & -2-4+10 & 0+0+5 \\ 2+3-4 & 2+3-8 & 0+0-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

$B\cdot A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

$B\cdot A=\begin{pmatrix} 4-2+0 & -6+8+0 & -10+10+0 \\ -2+1+0 & 3-4+0 & 5-5+0 \\ 2-2+1 & -3+8-3 & -5+10-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Los dos productos salen iguales a uno de los factores:

$A\cdot B=A \qquad\text{y}\qquad B\cdot A=B$

Obsérvese que el producto de matrices no es conmutativo: aquí $A\cdot B\neq B\cdot A$. Y las dos matrices del enunciado cumplen exactamente la relación que se estudia en el apartado siguiente.

$\textbf{b) Sean } \boldsymbol{C}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{ dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfagan } \boldsymbol{C \cdot D = C}\textbf{ y } \boldsymbol{D \cdot C = D}\textbf{. Compruebe que las dos matrices, } \boldsymbol{C}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{, son idempotentes. (1 punto)}$

Hay que comprobar que $C^2=C$ y que $D^2=D$. Partimos de $C^2$ y sustituimos una de las dos $C$ por la hipótesis $C=C\cdot D$; después usamos la asociatividad del producto de matrices y la otra hipótesis.

$C^2=C\cdot C=(C\cdot D)\cdot C=C\cdot (D\cdot C)=C\cdot D=C$

Razonamos igual con $D$, sustituyendo ahora $D=D\cdot C$.

$D^2=D\cdot D=(D\cdot C)\cdot D=D\cdot (C\cdot D)=D\cdot C=D$

Las dos matrices coinciden con su cuadrado, luego $C$ y $D$ son idempotentes. Nótese que solo se ha usado que el producto de matrices es asociativo, no que sea conmutativo, que es falso en general.