Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ si sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de inflexión $(1, 0)$ es $y = -3x + 3$ y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa $x = 0$. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule los coeficientes } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{, } \boldsymbol{c}\textbf{ y } \boldsymbol{d}\textbf{ de la función } \boldsymbol{f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d}\textbf{ si sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de inflexión } \boldsymbol{(1, 0)}\textbf{ es } \boldsymbol{y = -3x + 3}\textbf{ y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. (2,5 puntos)}$

Hay cuatro incógnitas, así que necesitamos cuatro condiciones. Traducimos a ecuaciones cada uno de los datos del enunciado, para lo cual calculamos primero la derivada primera y la segunda.

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$f'(x)=3ax^2+2bx+c$

$f''(x)=6ax+2b$

i) La gráfica pasa por el punto $(1,0)$:

$f(1)=0 \Rightarrow a+b+c+d=0$

ii) Ese punto es de inflexión, y en un punto de inflexión de una función polinómica se anula la derivada segunda:

$f''(1)=0 \Rightarrow 6a+2b=0 \Rightarrow b=-3a$

iii) La pendiente de la recta tangente en $x=1$ es la derivada en ese punto, y la recta $y=-3x+3$ tiene pendiente $-3$:

$f'(1)=-3 \Rightarrow 3a+2b+c=-3$

iv) Hay un extremo relativo en $x=0$, luego la derivada se anula ahí:

$f'(0)=0 \Rightarrow c=0$

Sustituimos ahora las condiciones ii) y iv) en la iii) y despejamos.

$3a+2(-3a)+0=-3 \Rightarrow -3a=-3 \Rightarrow a=1$

$b=-3a=-3, \qquad c=0$

$a+b+c+d=0 \Rightarrow 1-3+0+d=0 \Rightarrow d=2$

Comprobamos que la función obtenida cumple todo lo que pide el enunciado.

$f(x)=x^3-3x^2+2, \qquad f'(x)=3x^2-6x, \qquad f''(x)=6x-6$

$f(1)=1-3+2=0, \quad f'(1)=3-6=-3, \quad f''(1)=0, \quad f'(0)=0$

Además $f''(0)=-6<0$, así que en $x=0$ hay efectivamente un extremo relativo, un máximo.

Los coeficientes pedidos son $a=1$, $b=-3$, $c=0$ y $d=2$, es decir, la función es $f(x)=x^3-3x^2+2$.