Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere el punto $P = (1, 3, 0)$ y el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - 2z = -7$.

a) Sea $r$ la recta que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $P$. Calcule el punto de intersección de $\pi$ con $r$. [1 punto]
b) Calcule la distancia $d$ del punto $P$ al plano $\pi$. [0,5 puntos]
c) Calcule la ecuación de otro plano $\pi'$ que sea paralelo a $\pi$ y que también esté a distancia $d$ de $P$. [1 punto]

$\textbf{a) Sea } \boldsymbol{r}\textbf{ la recta que es perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y pasa por } \boldsymbol{P}\textbf{. Calcule el punto de intersección de } \boldsymbol{\pi}\textbf{ con } \boldsymbol{r}\textbf{. (1 punto)}$










Que la recta sea perpendicular al plano significa que su vector director es el vector normal del plano. Escribimos primero el plano con el término independiente en el primer miembro.

$\pi:\ x+2y-2z+7=0 \Rightarrow \vec n_{\pi}=(1,2,-2)$

$r:\ \begin{cases} x=1+\lambda \\ y=3+2\lambda \\ z=-2\lambda \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}$





Para hallar la intersección sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la del plano y despejamos el parámetro.

$(1+\lambda)+2(3+2\lambda)-2(-2\lambda)+7=0$

$1+\lambda+6+4\lambda+4\lambda+7=0 \Rightarrow 9\lambda+14=0 \Rightarrow \lambda=-\dfrac{14}{9}$

$x=1-\dfrac{14}{9}=-\dfrac{5}{9}, \qquad y=3-\dfrac{28}{9}=-\dfrac{1}{9}, \qquad z=\dfrac{28}{9}$

El punto de intersección de $\pi$ con $r$ es $R\left(-\dfrac{5}{9},-\dfrac{1}{9},\dfrac{28}{9}\right)$, que es el pie de la perpendicular trazada desde $P$.

$\textbf{b) Calcule la distancia } \boldsymbol{d}\textbf{ del punto } \boldsymbol{P}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d=d(P,\pi)=\dfrac{|1+2\cdot 3-2\cdot 0+7|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\dfrac{|14|}{\sqrt{9}}=\dfrac{14}{3}\approx 4{,}67\ \text{u}$

También se puede obtener como la distancia de $P$ al punto $R$ del apartado anterior, y sale el mismo valor.

La distancia del punto $P$ al plano $\pi$ es $d=\dfrac{14}{3}$ unidades.

$\textbf{c) Calcule la ecuación de otro plano } \boldsymbol{\pi'}\textbf{ que sea paralelo a } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que también esté a distancia } \boldsymbol{d}\textbf{ de } \boldsymbol{P}\textbf{. (1 punto)}$










Dos planos paralelos tienen el mismo vector normal, así que $\pi'$ solo puede diferir de $\pi$ en el término independiente. Imponemos después la condición de la distancia.

$\pi':\ x+2y-2z+D=0$

$d(P,\pi')=\dfrac{|1+6-0+D|}{3}=\dfrac{14}{3} \Rightarrow |7+D|=14$





$7+D=14 \Rightarrow D=7 \qquad\text{o}\qquad 7+D=-14 \Rightarrow D=-21$

La solución $D=7$ es el propio plano $\pi$ y se descarta, porque el enunciado pide otro plano.

$\pi':\ x+2y-2z-21=0$

El plano pedido es $\pi': x+2y-2z-21=0$: es el simétrico de $\pi$ respecto de $P$, de modo que $P$ queda justo a mitad de camino entre los dos.