Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Para cada punto $(x, y)$ de la curva $y = e^{-2x}$, con $x > 0$ e $y > 0$, considere el rectángulo con vértices en los puntos $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ y $(x, y)$.

a) Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene $x = \dfrac{1}{2}$ es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área? [1,5 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $y = e^{-2x}$ en el punto de abscisa $x = 0$, y su punto de corte con el eje de abscisas. [1 punto]

$\textbf{a) Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene } \boldsymbol{x = \dfrac{1}{2}}\textbf{ es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área? (1,5 puntos)}$










Cada rectángulo queda determinado por la abscisa $x$ del punto de la curva: su base mide $x$ y su altura es la ordenada de ese punto, $y=e^{-2x}$. El área es, por tanto, una función de una sola variable.

$S(x)=x\cdot e^{-2x}, \qquad x>0$





Para localizar el máximo derivamos, aplicando la regla del producto, e igualamos a cero.

$S'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot(-2)e^{-2x}=e^{-2x}(1-2x)$

$S'(x)=0 \Rightarrow e^{-2x}(1-2x)=0$

La exponencial nunca se anula, así que el único punto crítico sale del otro factor.

$1-2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Como $e^{-2x}>0$ siempre, el signo de $S'(x)$ es el del factor $1-2x$.

$0<x<\dfrac{1}{2} \Rightarrow S'(x)>0 \Rightarrow S \text{ es creciente}$

$x>\dfrac{1}{2} \Rightarrow S'(x)<0 \Rightarrow S \text{ es decreciente}$

La función pasa de creciente a decreciente en $x=\frac{1}{2}$, luego ahí hay un máximo, y por ser el único extremo del intervalo $(0,+\infty)$ es el máximo absoluto.

$S\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{2e}\approx 0{,}1839$

Queda comprobado que el rectángulo de área máxima es el de $x=\frac{1}{2}$, y esa área máxima vale $\frac{1}{2e}\approx 0{,}1839$ unidades de área.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función } \boldsymbol{y = e^{-2x}}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 0}\textbf{, y su punto de corte con el eje de abscisas. (1 punto)}$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es $y-y(0)=y'(0)\,(x-0)$, así que evaluamos la función y su derivada en ese punto.

$y(0)=e^{0}=1$

$y'(x)=-2e^{-2x} \Rightarrow y'(0)=-2e^{0}=-2$

$y-1=-2(x-0) \Rightarrow y=1-2x$

Para el corte con el eje de abscisas imponemos $y=0$.

$0=1-2x \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

La recta tangente es $y=1-2x$ y corta al eje de abscisas en el punto $\left(\frac{1}{2},0\right)$, que es precisamente la abscisa del rectángulo de área máxima del apartado anterior.