Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

La clase de Elia ha diseñado el logotipo siguiente para pintarlo en la pared del instituto:



La curva que pasa por el punto $A$ es $y = f(x)$, con $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$, y la que pasa por los puntos $B$, $C = (3, 3)$ y $D$ es $y = g(x)$, con $g(x) = -\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^{2} + 4$.
a) Calcule las coordenadas de los puntos $A$, $B$ y $D$. [0,75 puntos]
b) Calcule el área de la zona punteada. [1,25 puntos]
c) Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color rojo. Sabiendo que el área total del logotipo es $\dfrac{175}{12}\ \mathrm{m^2}$, ¿de qué color necesitarán más pintura? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule las coordenadas de los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Los tres puntos se leen en la figura: $A$ es el punto en que la curva $y=f(x)$ toca al eje de abscisas por la derecha, $B$ es el corte de $y=g(x)$ con el eje de ordenadas y $D$ es el corte de $y=g(x)$ con el eje de abscisas por la derecha.

$f(x)=x^3-4x^2+4x=x\left(x^2-4x+4\right)=x(x-2)^2$

$f(x)=0 \Rightarrow x(x-2)^2=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \ (\text{doble}) \end{cases}$

La raíz doble $x=2$ es la que corresponde a $A$, porque en ella la curva toca al eje sin atravesarlo, tal y como se ve en el logotipo.

$A(2,0)$

$B: \ x=0 \Rightarrow g(0)=-\left(\dfrac{0-1}{2}\right)^{2}+4=-\dfrac{1}{4}+4=\dfrac{15}{4} \Rightarrow B\left(0,\dfrac{15}{4}\right)$

$D: \ g(x)=0 \Rightarrow \left(\dfrac{x-1}{2}\right)^{2}=4 \Rightarrow \dfrac{x-1}{2}=\pm 2 \Rightarrow \begin{cases} x=5 \\ x=-3 \end{cases}$

Se descarta $x=-3$ porque queda a la izquierda del eje de ordenadas y en la figura $D$ está a la derecha.

$D(5,0)$

Los puntos pedidos son $A(2,0)$, $B\left(0,\frac{15}{4}\right)$ y $D(5,0)$.

$\textbf{b) Calcule el área de la zona punteada. (1,25 puntos)}$

La zona punteada está limitada por arriba por la curva $y=g(x)$ y por abajo por la curva $y=f(x)$, desde $x=0$ (donde empieza en $B$) hasta $x=3$ (donde las dos curvas se cortan en $C$). Comprobamos primero que $C$ es efectivamente un punto común.

$f(3)=27-36+12=3, \qquad g(3)=-\left(\dfrac{3-1}{2}\right)^{2}+4=-1+4=3 \Rightarrow C(3,3)\ \text{está en las dos curvas.}$

Restamos las dos funciones y comprobamos que la diferencia no cambia de signo dentro del intervalo.

$g(x)-f(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{4}+4-x^3+4x^2-4x=-x^3+\dfrac{15}{4}x^2-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{15}{4}$

$g(x)-f(x)=-\dfrac{(x-3)\left(4x^2-3x+5\right)}{4}$

El factor $4x^2-3x+5$ no tiene raíces reales (su discriminante es $9-80<0$) y es positivo; por tanto, para $0\leq x<3$ se tiene $x-3<0$ y la diferencia es positiva: $g$ va por encima de $f$ en todo el intervalo.

$A_{\text{punteada}}=\int_{0}^{3}\big[g(x)-f(x)\big]\,dx=\int_{0}^{3}\left(-x^3+\dfrac{15}{4}x^2-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{15}{4}\right)dx$

$=\left[-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{5}{4}x^3-\dfrac{7}{4}x^2+\dfrac{15}{4}x\right]_{0}^{3}$

$=-\dfrac{81}{4}+\dfrac{135}{4}-\dfrac{63}{4}+\dfrac{45}{4}-0=\dfrac{36}{4}=9$

El área de la zona punteada es de $9\ \text{m}^2$.

$\textbf{c) Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color rojo. Sabiendo que el área total del logotipo es } \boldsymbol{\dfrac{175}{12}\ \mathrm{m^2}}\textbf{, ¿de qué color necesitarán más pintura? (0,5 puntos)}$

El logotipo se compone solo de la zona punteada y la rayada, así que el área rayada es la diferencia entre el área total y la que acabamos de calcular.

$A_{\text{rayada}}=\dfrac{175}{12}-9=\dfrac{175}{12}-\dfrac{108}{12}=\dfrac{67}{12}\approx 5{,}58\ \text{m}^2$

$A_{\text{punteada}}=9\ \text{m}^2 > \dfrac{67}{12}\ \text{m}^2=A_{\text{rayada}}$

Como la zona punteada mide $9\ \text{m}^2$ y la rayada $\frac{67}{12}\approx 5{,}58\ \text{m}^2$, necesitarán más pintura azul.