Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones siguiente, donde $m$ es un parámetro real:

$\left.\begin{array}{r} x - 3y + mz = -2 \\ x + my + 2z = 3 \\ x + y + 2z = m \end{array}\right\}$

a) Discuta el sistema según el valor del parámetro $m$. [1,25 puntos]
b) Encuentre la solución del sistema para $m = 0$. [0,5 puntos]
c) Para $m = 2$, dé una solución $(x, y, z)$ del sistema que, además, cumpla $x = 5y$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema según el valor del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la ampliada $A^*$, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & m \\ 1 & m & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix} 1 & -3 & m & -2 \\ 1 & m & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & m \end{pmatrix}$

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & -3 & m \\ 1 & m & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=2m-6+m-(m^2+2-6)=-m^2+3m-2$

$|A|=0 \Rightarrow m^2-3m+2=0 \Rightarrow m=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{3\pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases} m_1=1 \\ m_2=2 \end{cases}$

Si $m\neq 1$ y $m\neq 2$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $m=1$, la matriz ampliada es

$A^*=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1+3=4\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1-9-2-(-2+3-3)=-10+2=-8\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^*) \Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Se ve también sin cálculos: para $m=1$ las ecuaciones segunda y tercera tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente.

Si $m=2$,

$A^*=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=2+3=5\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=4-9-2-(-4+3-6)=-7+7=0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado si $m\neq 1$ y $m\neq 2$, incompatible si $m=1$ y compatible indeterminado si $m=2$.

$\textbf{b) Encuentre la solución del sistema para } \boldsymbol{m = 0}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Para $m=0$ el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\begin{cases} x-3y=-2 \\ x+2z=3 \\ x+y+2z=0 \end{cases}, \qquad |A|=-0^2+3\cdot 0-2=-2$

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} -2 & -3 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{0+0+0-(0-4-18)}{-2}=\dfrac{22}{-2}=-11$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{6-4+0-(0+0-4)}{-2}=\dfrac{6}{-2}=-3$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{-2}=\dfrac{0-9-2-(0+3+0)}{-2}=\dfrac{-14}{-2}=7$

Para $m=0$ la solución única del sistema es $x=-11$, $y=-3$, $z=7$.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{m = 2}\textbf{, dé una solución } \boldsymbol{(x, y, z)}\textbf{ del sistema que, además, cumpla } \boldsymbol{x = 5y}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Para $m=2$ el sistema es compatible indeterminado, así que primero escribimos todas sus soluciones y después imponemos la condición adicional. El sistema es

$\begin{cases} x-3y+2z=-2 \\ x+2y+2z=3 \\ x+y+2z=2 \end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparecen $x$ y $z$:

$5y=5 \Rightarrow y=1$

Sustituyendo en la tercera ecuación y despejando $x$:

$x+1+2z=2 \Rightarrow x=1-2z$

$\begin{cases} x=1-2\lambda \\ y=1 \\ z=\lambda \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}$

Imponemos ahora $x=5y$:

$1-2\lambda=5\cdot 1 \Rightarrow -2\lambda=4 \Rightarrow \lambda=-2$

$x=1-2\cdot(-2)=5, \qquad y=1, \qquad z=-2$

La solución pedida es $(x,y,z)=(5,1,-2)$, que en efecto cumple $x=5y$.