Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Considere la función polinómica $f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2$.

a) Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo $[-2, 0]$. Dé un intervalo de longitud 0,5 donde se encuentre este punto de corte. [1,25 puntos]
b) Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de $y = f(x)$. ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo } \boldsymbol{[-2, 0]}\textbf{. Dé un intervalo de longitud 0,5 donde se encuentre este punto de corte. (1,25 puntos)}$

La función es polinómica, luego es continua en $\mathbb{R}$ y, en particular, en el intervalo cerrado $[-2,0]$. Aplicamos el teorema de Bolzano: basta comprobar que toma valores de signo contrario en los extremos.

$f(-2)=3\cdot(-2)^{13}+5\cdot(-2)^3+2=-24576-40+2=-24614<0$

$f(0)=3\cdot 0^{13}+5\cdot 0^3+2=2>0$

Por el teorema de Bolzano existe al menos un $c\in(-2,0)$ con $f(c)=0$, es decir, la gráfica corta al eje de abscisas en ese intervalo.

Para acotar el corte en un intervalo de longitud 0,5 vamos partiendo por la mitad y quedándonos con el trozo donde cambia el signo.

$f(-1)=3\cdot(-1)+5\cdot(-1)+2=-3-5+2=-6<0 \Rightarrow \text{el corte está en } (-1,0)$

$f(-0{,}5)=3\cdot(-0{,}5)^{13}+5\cdot(-0{,}5)^{3}+2=-0{,}000366-0{,}625+2=1{,}3746>0$

Como $f(-1)<0$ y $f(-0{,}5)>0$, el punto de corte está en el intervalo $(-1,\,-0{,}5)$, que tiene longitud 0,5.

$\textbf{b) Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{. ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique la respuesta. (1,25 puntos)}$

Calculamos la derivada y estudiamos su signo.

$f'(x)=39x^{12}+15x^{2}=3x^{2}\left(13x^{10}+5\right)$

$3x^2\geq 0 \ \ \text{y} \ \ 13x^{10}+5>0 \ \ \forall x\in\mathbb{R} \Rightarrow f'(x)\geq 0$

$f'(x)=0 \Rightarrow 3x^{2}\left(13x^{10}+5\right)=0 \Rightarrow x=0$

La derivada solo se anula en $x=0$ y es positiva en el resto, así que no cambia de signo: la función es creciente en todo $\mathbb{R}$. En $x=0$ hay tangente horizontal, pero no un extremo relativo, porque la función crece tanto a su izquierda como a su derecha.

De aquí sale la respuesta a la última pregunta. Al ser estrictamente creciente, la función es inyectiva: no puede tomar el valor 0 más de una vez. Y por el apartado a) sabemos que lo toma al menos una vez.

$f \text{ estrictamente creciente} \Rightarrow \text{a lo sumo un corte;} \qquad \text{Bolzano} \Rightarrow \text{al menos un corte.}$

La función es creciente en todo $\mathbb{R}$ y no tiene máximos ni mínimos relativos, y su gráfica corta al eje de abscisas exactamente en un punto, situado en el intervalo $(-1,\,-0{,}5)$.