Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere los puntos $A = (1, 2, 3)$ y $B = (-3, -2, 3)$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P = (x, y, z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$, es decir, $d(P, A) = d(P, B)$. [1 punto]
b) Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta. [0,75 puntos]
c) Sea $C = (-7, 6, 3)$. ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que es perpendicular a la recta } \boldsymbol{AB}\textbf{ y que pasa por el punto medio entre } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos } \boldsymbol{P = (x, y, z)}\textbf{ que están a igual distancia de } \boldsymbol{A}\textbf{ que de } \boldsymbol{B}\textbf{, es decir, } \boldsymbol{d(P, A) = d(P, B)}\textbf{. (1 punto)}$










Que el plano sea perpendicular a la recta $AB$ significa que $\overrightarrow{AB}$ es un vector normal de $\pi$; el punto por el que pasa es el punto medio de $A$ y $B$.

$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-1,\,-2-2,\,3-3)=(-4,-4,0)$

$M=\left(\dfrac{1-3}{2},\dfrac{2-2}{2},\dfrac{3+3}{2}\right)=(-1,0,3)$





Como los vectores normales se pueden simplificar, tomamos $\vec n_{\pi}=(1,1,0)$, proporcional a $\overrightarrow{AB}$.

$\pi:\ x+y+0\cdot z+D=0$

$M(-1,0,3)\in\pi \Rightarrow -1+0+D=0 \Rightarrow D=1$

$\pi:\ x+y+1=0$

Justifiquemos ahora que ese plano es exactamente el conjunto de puntos equidistantes de $A$ y de $B$. Imponemos la condición y elevamos al cuadrado, que es una transformación válida por ser ambas distancias no negativas.

$d(P,A)=d(P,B) \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(x+3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2$

$x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2+6x+9+y^2+4y+4$

$-2x-4y+5=6x+4y+13 \Rightarrow -8x-8y-8=0 \Rightarrow x+y+1=0$

Se obtiene la ecuación de $\pi$, luego el plano pedido es $\pi: x+y+1=0$ y está formado precisamente por los puntos que equidistan de $A$ y de $B$; es el plano mediador del segmento $\overline{AB}$.

$\textbf{b) Calcule las distancias de } \boldsymbol{A}\textbf{ y de } \boldsymbol{B}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta. (0,75 puntos)}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(A,\pi)=\dfrac{|1+2+1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\ \text{u}$

$d(B,\pi)=\dfrac{|-3-2+1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\ \text{u}$

No es casualidad. El plano $\pi$ es perpendicular a $AB$, de modo que el pie de la perpendicular trazada desde $A$ y el trazado desde $B$ es el mismo punto: el punto medio $M$. Las dos distancias valen, por tanto, la mitad de la longitud del segmento.

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2} \Rightarrow d(A,\pi)=d(B,\pi)=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Las dos distancias valen $2\sqrt{2}$ unidades y coinciden porque $\pi$ es el plano mediador de $\overline{AB}$.

$\textbf{c) Sea } \boldsymbol{C = (-7, 6, 3)}\textbf{. ¿El triángulo } \boldsymbol{ABC}\textbf{ es isósceles? Calcule su área. (0,75 puntos)}$

Un triángulo es isósceles si dos de sus lados miden lo mismo, así que calculamos los tres vectores lado y sus módulos.

$\overrightarrow{AB}=(-4,-4,0), \qquad \overrightarrow{AC}=(-8,4,0), \qquad \overrightarrow{BC}=(-4,8,0)$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+16+0}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{64+16+0}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{16+64+0}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

Como $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|$, el triángulo es isósceles. Era previsible: $C$ cumple $-7+6+1=0$, es decir, pertenece al plano $\pi$, y por el apartado a) todos sus puntos equidistan de $A$ y de $B$.

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -4 & -4 & 0 \\ -8 & 4 & 0 \end{vmatrix}=(0,\,0,\,-16-32)=(0,0,-48)$

$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+0^2+(-48)^2}=48$

$\text{\'Area}=\dfrac{1}{2}\cdot 48=24\ \text{u}^2$

El triángulo $ABC$ es isósceles, con los lados $AC$ y $BC$ iguales, y su área es de 24 unidades cuadradas.