Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Queremos construir un pequeño cobertizo de madera de $6\ \mathrm{m^3}$ de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, queremos que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de 30 € y el techo cuesta 50 € por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadirle una puerta tiene un coste fijo de 35 €.



a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función $C(x) = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35$, donde $x$ es la profundidad del cobertizo en metros. [1,25 puntos]
b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función } \boldsymbol{C(x) = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35}\textbf{, donde } \boldsymbol{x}\textbf{ es la profundidad del cobertizo en metros. (1,25 puntos)}$










Llamamos $x$ a la profundidad, $3x$ a la anchura (el enunciado dice que el cobertizo mide el triple de anchura que de profundidad) y $h$ a la altura. La condición del volumen relaciona las tres medidas y nos permite escribir $h$ en función de $x$.

$V=3x\cdot x\cdot h=3x^2h=6 \Rightarrow h=\dfrac{2}{x^2}$





El techo es un rectángulo de $3x$ por $x$ y cuesta 50 € el metro cuadrado.

$\text{Coste del techo}=50\cdot 3x\cdot x=150x^2$

De paredes solo se construyen tres, porque el fondo es la pared de la casa: las dos laterales, de $x$ por $h$, y la frontal, de $3x$ por $h$. Cada metro cuadrado de pared cuesta 30 €.

$\text{Superficie de pared}=2\cdot x\,h+3x\,h=5x\,h=5x\cdot\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{10}{x}$

$\text{Coste de las paredes}=30\cdot\dfrac{10}{x}=\dfrac{300}{x}$

Sumando el coste fijo de la puerta, 35 €:

$C(x)=\dfrac{300}{x}+150x^2+35$

Queda comprobado que el coste de construcción es el que indica el enunciado.

$\textbf{b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste? (1,25 puntos)}$

Debemos minimizar $C(x)$ para $x>0$, ya que $x$ es una longitud. Derivamos e igualamos a cero para obtener los puntos críticos.

$C(x)=300x^{-1}+150x^2+35$

$C'(x)=-300x^{-2}+300x=-\dfrac{300}{x^2}+300x$

$C'(x)=0 \Rightarrow 300x=\dfrac{300}{x^2} \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1$

Para justificar que se trata de un mínimo estudiamos el signo de la segunda derivada en ese punto.

$C''(x)=600x^{-3}+300=\dfrac{600}{x^3}+300$

$C''(1)=600+300=900>0 \Rightarrow \text{en } x=1 \text{ hay un mínimo relativo.}$

Además es el mínimo absoluto, porque $x=1$ es el único punto crítico en $(0,+\infty)$: a su izquierda $C'(x)<0$ y a su derecha $C'(x)>0$.

Con $x=1$ recuperamos las otras dos dimensiones y el coste.

$\text{anchura}=3x=3\ \text{m}, \qquad h=\dfrac{2}{1^2}=2\ \text{m}$

$C(1)=\dfrac{300}{1}+150\cdot 1^2+35=300+150+35=485$

El coste es mínimo cuando el cobertizo mide 1 m de profundidad, 3 m de anchura y 2 m de altura, y ese coste mínimo es de 485 €.