Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Juan encuentra entre los papeles de su abuelo un esbozo como el de la figura adjunta, donde se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre.



La curva de la gráfica es $y = f(x)$, con $f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5$.
a) A partir de la expresión de $f(x)$, calcule las coordenadas de los puntos $P$, $Q$ y $R$ indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta $PR$. [1,25 puntos]
b) Calcule la superficie del terreno. [1,25 puntos]

$\textbf{a) A partir de la expresión de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, calcule las coordenadas de los puntos } \boldsymbol{P}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{ indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta } \boldsymbol{PR}\textbf{. (1,25 puntos)}$

En la figura, $P$ y $Q$ están sobre la recta horizontal que corta al eje de ordenadas a la altura 5, y $R$ está sobre el eje de abscisas, en la misma vertical que $Q$. Empezamos identificando esa recta horizontal.

$f(0)=-0^3+7\cdot 0^2-6\cdot 0+5=5$

La recta horizontal es, por tanto, $y=5$. Los puntos $P$ y $Q$ son los otros dos cortes de la curva con esa recta.

$-x^3+7x^2-6x+5=5 \Rightarrow -x^3+7x^2-6x=0 \Rightarrow -x\,(x^2-7x+6)=0$

$x=0 \quad\text{o}\quad x^2-7x+6=0 \Rightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}=\dfrac{7\pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1=1 \\ x_2=6 \end{cases}$

La solución $x=0$ es el punto del eje de ordenadas que ya aparece rotulado en la figura; los que buscamos son los otros dos.

$P(1,5), \qquad Q(6,5)$

El punto $R$ tiene la abscisa de $Q$ y está sobre el eje $OX$, luego $R(6,0)$.

La recta $PR$ pasa por $P(1,5)$ y $R(6,0)$; calculamos su pendiente y aplicamos la ecuación punto-pendiente.

$m=\dfrac{0-5}{6-1}=\dfrac{-5}{5}=-1$

$y-5=-1\,(x-1) \Rightarrow y=6-x$

Los vértices del terreno son $P(1,5)$, $Q(6,5)$ y $R(6,0)$, y la recta $PR$ es $y=6-x$.

$\textbf{b) Calcule la superficie del terreno. (1,25 puntos)}$

El terreno está limitado por arriba por la curva $y=f(x)$ y por abajo por la recta $PR$, entre las abscisas $x=1$ y $x=6$; el lado $QR$ es el segmento vertical $x=6$, que queda recogido por los límites de integración. Como en $[1,6]$ la curva está por encima de la recta, el área es la integral de la diferencia.

$A=\int_{1}^{6}\big[(-x^3+7x^2-6x+5)-(6-x)\big]\,dx=\int_{1}^{6}(-x^3+7x^2-5x-1)\,dx$

$\int(-x^3+7x^2-5x-1)\,dx=-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{7x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}-x$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left[-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{7x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}-x\right]_{1}^{6}$

$A=\left(-324+504-90-6\right)-\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{2}-1\right)=84-\left(-\dfrac{17}{12}\right)$

$A=84+\dfrac{17}{12}=\dfrac{1025}{12}\approx 85{,}42\ \text{u.a.}$

La superficie del terreno es $\dfrac{1025}{12}\approx 85{,}42$ unidades de área.