Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones siguiente:

$\left.\begin{array}{r} 4x + 2y - z = 4 \\ x - y + kz = 3 \\ 3x + 3y = 1 \end{array}\right\}$

donde $k$ es un parámetro real.
a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$, y resuélvalo para $k = 0$. [1 punto]
b) Resuelva el sistema para $k = -1$. [0,75 puntos]
c) Para $k = -1$, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justifique la respuesta. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{, y resuélvalo para } \boldsymbol{k = 0}\textbf{. (1 punto)}$

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$, y discutimos el sistema comparando sus rangos con el número de incógnitas (teorema de Rouché-Frobenius).

$A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & k & 3 \\ 3 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$|A|=\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix}=0+6k-3-(3+12k+0)=-6k-6=-6(k+1)$

$|A|=0 \Rightarrow -6(k+1)=0 \Rightarrow k=-1$

Si $k\neq -1$, entonces $|A|\neq 0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $k=-1$, sabemos que $|A|=0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-4-2=-6\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes para estudiar el rango de $A^*$:

$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}=-4+18+12-(-12+36+2)=26-26=0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=2<3=\text{n\'umero de inc\'ognitas} \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

Para $k=0$ el sistema es compatible determinado, con $|A|=-6$, y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}}{-6}=\dfrac{-1\cdot\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}}{-6}=\dfrac{-10}{-6}=\dfrac{5}{3}$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix} 4 & 4 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{-6}=\dfrac{-1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}}{-6}=\dfrac{8}{-6}=-\dfrac{4}{3}$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}}{-6}=\dfrac{0}{-6}=0$

El sistema es compatible determinado para $k\neq -1$ y compatible indeterminado para $k=-1$. Para $k=0$ la solución única es $x=\frac{5}{3},\ y=-\frac{4}{3},\ z=0$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{k = -1}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Por el apartado anterior, para $k=-1$ el sistema es compatible indeterminado con $\operatorname{ran}(A)=2$: sobra una ecuación y queda un grado de libertad. Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo, y pasamos $z$ al segundo miembro.

$\begin{cases} 4x+2y-z=4 \\ x-y-z=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x+2y=4+z \\ x-y=3+z \end{cases}$

$x=3+z+y$

$4(3+z+y)+2y=4+z \Rightarrow 12+4z+6y=4+z \Rightarrow 6y=-8-3z \Rightarrow y=\dfrac{-8-3z}{6}$

Llamando $z=2\lambda$ se obtienen expresiones sin denominadores:

$y=\dfrac{-8-6\lambda}{6}=-\dfrac{4}{3}-\lambda, \qquad x=3+2\lambda-\dfrac{4}{3}-\lambda=\dfrac{5}{3}+\lambda$

$\begin{cases} x=\dfrac{5}{3}+\lambda \\ y=-\dfrac{4}{3}-\lambda \\ z=2\lambda \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}$

Para $k=-1$ el sistema tiene infinitas soluciones, que dependen de un parámetro: $\left(\frac{5}{3}+\lambda,\,-\frac{4}{3}-\lambda,\,2\lambda\right)$ con $\lambda\in\mathbb{R}$. Para $\lambda=0$ se recupera la solución $\left(\frac{5}{3},-\frac{4}{3},0\right)$.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{k = -1}\textbf{, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justifique la respuesta. (0,75 puntos)}$

Para que el sistema sea incompatible hace falta que $\operatorname{ran}(A)<\operatorname{ran}(A^*)$. Observemos por qué ahora no ocurre: con $k=-1$, la tercera fila de $A$ es la diferencia de las dos primeras,

$(4,2,-1)-(1,-1,-1)=(3,3,0)$

y esa misma combinación se cumple en los términos independientes, $4-3=1$. Basta, por tanto, dejar los coeficientes como están y cambiar el término independiente: la fila de coeficientes seguirá siendo combinación lineal de las otras dos, pero la de $A^*$ ya no lo será. Sustituimos la tercera ecuación por

$3x+3y=0$

Comprobémoslo. La matriz de coeficientes no ha cambiado, luego $\operatorname{ran}(A)=2$. En la ampliada:

$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix}=0+18+12-(-12+36+0)=30-24=6\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A^*)=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^*) \Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Cambiando la tercera ecuación por $3x+3y=0$ el sistema resulta incompatible; de hecho vale cualquier término independiente distinto de 1, porque el valor 1 es el único compatible con las dos primeras ecuaciones.