Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f(x) = 2\,\dfrac{\ln x}{x}$, definida para $x > 0$.

a) Estudie sus máximos y mínimos, y las zonas de crecimiento y de decrecimiento. [1 punto]
b) ¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica. [1 punto]
c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie sus máximos y mínimos, y las zonas de crecimiento y de decrecimiento. (1 punto)}$

La función es derivable en todo su dominio $(0,+\infty)$. Para localizar los extremos relativos calculamos la derivada y la igualamos a cero.

$f'(x)=2\cdot\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=2\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 1-\ln x=0 \Rightarrow \ln x=1 \Rightarrow x=e$

Como $x^2>0$ para todo $x$ del dominio, el signo de $f'(x)$ es el del numerador $1-\ln x$.

$0<x<e \Rightarrow \ln x<1 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ es creciente}$

$x>e \Rightarrow \ln x>1 \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ es decreciente}$



La función pasa de creciente a decreciente en $x=e$, luego ahí hay un máximo relativo.

$f(e)=2\cdot\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac{2}{e}\approx 0{,}7358$

La función crece en $(0,e)$ y decrece en $(e,+\infty)$; tiene un máximo relativo en el punto $\left(e,\dfrac{2}{e}\right)$ y no tiene mínimos relativos.

$\textbf{b) ¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica. (1 punto)}$

El dominio es $(0,+\infty)$, así que la única candidata a asíntota vertical es $x=0$.

$\lim_{x\to 0^+}2\,\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{2\cdot(-\infty)}{0^+}=-\infty \Rightarrow x=0 \text{ es asíntota vertical.}$

Para la asíntota horizontal estudiamos el límite en $+\infty$, que es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$ y resolvemos aplicando la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to +\infty}2\,\dfrac{\ln x}{x}=\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to +\infty}2\cdot\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x}=0$

$\Rightarrow y=0 \text{ es asíntota horizontal cuando } x\to +\infty.$

Al existir asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua.

Para completar el esbozo obtenemos el corte con el eje de abscisas.

$f(x)=0 \Rightarrow \dfrac{2\ln x}{x}=0 \Rightarrow \ln x=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow (1,0)$



La función tiene la asíntota vertical $x=0$ y la asíntota horizontal $y=0$: la gráfica sube desde $-\infty$, corta al eje $OX$ en $(1,0)$, alcanza el máximo en $\left(e,\frac{2}{e}\right)$ y después decrece acercándose al eje $OX$.

$\textbf{c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. (0,5 puntos)}$

La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es $y-f(1)=f'(1)\,(x-1)$, de modo que basta evaluar la función y su derivada en $x=1$.

$f(1)=2\cdot\dfrac{\ln 1}{1}=0$

$f'(1)=2\cdot\dfrac{1-\ln 1}{1^2}=2$

$y-0=2(x-1) \Rightarrow y=2x-2$

La recta tangente a la gráfica en el punto $(1,0)$ es $y=2x-2$.