Ejercicio resuelto de Energía libre de Gibbs · Química · 2022

En el mercado hay diversos envases para alimentos y bebidas que son autocalentables. Estos envases constan de dos compartimentos: uno que contiene el alimento o la bebida y el otro donde se produce una reacción química exotérmica. En las bebidas autocalentables comerciales, la reacción que produce el calor necesario para calentarlas es la siguiente:

$\mathrm{CaO(s) + H_2O(l) \rightarrow Ca(OH)_2(s)}$

a) Calcule la variación de entalpía estándar de esta reacción a 25 °C. Justifique, mediante los cálculos necesarios, si la reacción será espontánea a 25 °C. [1,25 puntos]
b) Si dentro del envase hay 50,0 mL de agua y 14,0 g de óxido de calcio, calcule cuántos mL de una bebida de densidad $0{,}9\ \mathrm{g\ mL^{-1}}$, que inicialmente se encuentra a presión constante y 20 °C, podremos calentar hasta 42 °C. [1,25 puntos]

Datos: Capacidad calorífica de la bebida (entre 10 °C y 45 °C): $C_\mathrm{e} = 4{,}18\ \mathrm{kJ\ kg^{-1}\ {}^\circ C^{-1}}$. Masas atómicas relativas: $\mathrm{Ca} = 40{,}0$; $\mathrm{O} = 16{,}0$; $\mathrm{H} = 1{,}0$. Densidad del agua $= 1{,}0\ \mathrm{g\ mL^{-1}}$. Densidad de la bebida $= 0{,}9\ \mathrm{g\ mL^{-1}}$.
Entalpías estándar de formación y entropías molares estándar absolutas a 298 K:

Sustancia	$\mathrm{CaO(s)}$	$\mathrm{H_2O(l)}$	$\mathrm{Ca(OH)_2(s)}$ $\Delta H_f^\circ\ (\mathrm{kJ\ mol^{-1}})$	−635	−286	−987 $S^\circ\ (\mathrm{J\ K^{-1}\ mol^{-1}})$	39,8	69,8	83,4

$\textbf{a) Calcule la variación de entalpía estándar de esta reacción a 25 °C. Justifique, mediante los cálculos necesarios, si la reacción será espontánea a 25 °C. (1,25 puntos)}$

La entalpía se obtiene con la ley de Hess a partir de las entalpías de formación, restando a las de los productos las de los reactivos:

$\Delta H^\circ = \Delta H^\circ_f(\mathrm{Ca(OH)_2}) - [\,\Delta H^\circ_f(\mathrm{CaO}) + \Delta H^\circ_f(\mathrm{H_2O})\,]$

$\Delta H^\circ = -987 - (-635 - 286) = -987 + 921$

$\Delta H^\circ = -66\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$

Negativa, luego la reacción es exotérmica, que es justamente la condición para que sirva de fuente de calor en el envase.

Para la espontaneidad hace falta además la entropía, que se calcula igual pero con las entropías absolutas:

$\Delta S^\circ = S^\circ(\mathrm{Ca(OH)_2}) - [\,S^\circ(\mathrm{CaO}) + S^\circ(\mathrm{H_2O})\,]$

$\Delta S^\circ = 83{,}4 - (39{,}8 + 69{,}8) = 83{,}4 - 109{,}6$

$\Delta S^\circ = -26{,}2\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$

También negativa, como cabía esperar: dos sustancias, una sólida y otra líquida, se combinan para dar un único sólido, de modo que el desorden disminuye. El término entrópico, por tanto, se opone.

Con ambos valores se aplica la ecuación de Gibbs a 298 K, pasando la entropía a kilojulios:

$\Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\,\Delta S^\circ = -66 - 298 \cdot (-26{,}2 \cdot 10^{-3})$

$\Delta G^\circ = -66 + 7{,}8 = -58{,}2\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$

Como $\Delta G^\circ < 0$, la reacción es espontánea a 25 °C. El término entálpico domina con mucho sobre el entrópico, así que la espontaneidad está asegurada con holgura.

Conviene notar que, al ser $\Delta H < 0$ y $\Delta S < 0$, la reacción dejaría de ser espontánea por encima de $66/0{,}0262 = 2519$ K, una temperatura irrelevante para el uso doméstico del envase.

$\textbf{b) Si dentro del envase hay 50,0 mL de agua y 14,0 g de óxido de calcio, calcule cuántos mL de una bebida de densidad 0,9 g mL⁻¹, que inicialmente se encuentra a presión constante y 20 °C, podremos calentar hasta 42 °C. (1,25 puntos)}$

Lo primero es averiguar cuánto calor se desprende, y para eso hay que identificar el reactivo limitante, porque el enunciado da cantidades de los dos reactivos.

$n(\mathrm{H_2O}) = \frac{50{,}0 \cdot 1{,}0}{18{,}0} = 2{,}78\ \text{mol}$

$M(\mathrm{CaO}) = 40{,}0 + 16{,}0 = 56{,}0\ \text{g/mol}$

$n(\mathrm{CaO}) = \frac{14{,}0}{56{,}0} = 0{,}250\ \text{mol}$

La reacción consume los dos en proporción 1:1, así que el limitante es el óxido de calcio: con 0,250 mol de CaO solo pueden reaccionar 0,250 mol de agua, y sobran más de dos moles. El agua está en gran exceso, cosa lógica en un envase de este tipo, donde interesa que todo el óxido reaccione.

El calor liberado es, por tanto:

$Q = n(\mathrm{CaO}) \cdot |\Delta H^\circ| = 0{,}250 \cdot 66 = 16{,}5\ \text{kJ}$

Ese calor se emplea íntegramente en subir la temperatura de la bebida, de 20 a 42 °C. Con la ecuación calorimétrica se despeja la masa:

$Q = m \cdot C_e \cdot \Delta T \quad \Rightarrow \quad m = \frac{Q}{C_e \cdot \Delta T}$

$\Delta T = 42 - 20 = 22\ ^\circ\mathrm{C}$

$m = \frac{16{,}5}{4{,}18 \cdot 22} = \frac{16{,}5}{91{,}96} = 0{,}179\ \text{kg} = 179\ \text{g}$

Y con la densidad de la bebida se pasa a volumen:

$V = \frac{m}{d} = \frac{179}{0{,}9} = 199\ \text{mL}$

Se pueden calentar unos 199 mL de bebida, es decir, prácticamente los 200 mL de una lata pequeña, que es justo la capacidad para la que están diseñados estos envases.