Ejercicio resuelto de Propiedades periódicas · Química · 2022

El elemento potasio se encuentra en la naturaleza como catión potasio, que es indispensable para los seres vivos porque participa en funciones biológicas importantes.

a) Explique qué es la energía de ionización y justifique su signo. Si la energía de ionización del potasio es de $418\ \mathrm{kJ\ mol^{-1}}$, calcule la energía mínima que ha de tener un fotón para poder ionizar un átomo de potasio. Calcule la frecuencia asociada a este fotón. Según los datos de la tabla siguiente, ¿cuáles son las zonas del espectro de la luz en que se podría ionizar el átomo de potasio? Razone la respuesta. [1,25 puntos]
Longitud de onda del espectro electromagnético de la luz:

$\lambda\ (\mathrm{m})$	$10^{2}$	$10^{0}$	$10^{-3}$	$10^{-6}$	$10^{-7}\text{-}10^{-8}$	$10^{-9}$	$10^{-12}$ Zona espectral	ondas de radio	microondas	infrarroja	visible	ultravioleta	rayos X	rayos $\gamma$

b) ¿El radio del átomo de potasio será mayor o menor que el radio del catión potasio? ¿La segunda energía de ionización del potasio será mayor o menor que la primera energía de ionización del potasio? Justifique las respuestas basándose en las configuraciones electrónicas y en el modelo atómico de cargas eléctricas. [1,25 puntos]

Datos: Número atómico del potasio: $Z(\mathrm{K}) = 19$. Número de Avogadro: $N_\mathrm{A} = 6{,}02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$. Velocidad de la luz en el vacío: $c = 3{,}0 \times 10^{8}\ \mathrm{m\ s^{-1}}$. Constante de Planck: $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\ s}$.

$\textbf{a) Explique qué es la energía de ionización y justifique su signo. Si la energía de ionización del potasio es de 418 kJ mol⁻¹, calcule la energía mínima que ha de tener un fotón para poder ionizar un átomo de potasio y la frecuencia asociada. ¿Cuáles son las zonas del espectro de la luz en que se podría ionizar el átomo de potasio? (1,25 puntos)}$

La primera energía de ionización de un elemento es la energía mínima necesaria para arrancar el electrón más externo de uno de sus átomos, neutro, en estado gaseoso y en su estado fundamental, dando el catión monopositivo:

$\mathrm{K}(g) + \mathrm{EI_1} \rightarrow \mathrm{K^+}(g) + e^-$

Su signo es positivo, porque el electrón está retenido por la atracción del núcleo y hay que aportar energía para separarlo: el proceso es endotérmico.

Un fotón ioniza un solo átomo, de modo que el dato, que viene por mol, hay que dividirlo entre el número de Avogadro:

$E = \frac{418 \cdot 10^{3}}{6{,}02 \cdot 10^{23}} = 6{,}94 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$

Esa es la energía mínima que ha de llevar el fotón. Su frecuencia sale de la relación de Planck:

$\nu = \frac{E}{h} = \frac{6{,}94 \cdot 10^{-19}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}} = 1{,}05 \cdot 10^{15}\ \mathrm{s^{-1}}$

Y para situarla en la tabla, que está en longitudes de onda, se convierte:

$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3{,}0 \cdot 10^{8}}{1{,}05 \cdot 10^{15}} = 2{,}86 \cdot 10^{-7}\ \text{m}$

Son 286 nm, que caen ya en la región ultravioleta, justo más allá del extremo violeta del visible.

Ahora bien, el enunciado pide la energía $\textbf{mínima}$, así que sirve cualquier fotón de esa energía o mayor, es decir, de longitud de onda igual o menor que $2{,}86 \cdot 10^{-7}$ m. Mirando la tabla, cumplen esa condición la zona $\textbf{ultravioleta}$ ($10^{-7}$ a $10^{-8}$ m), los $\textbf{rayos X}$ ($10^{-9}$ m) y los $\textbf{rayos gamma}$ ($10^{-12}$ m).

No sirven, en cambio, el visible ($10^{-6}$ m), el infrarrojo, las microondas ni las ondas de radio: sus fotones son demasiado poco energéticos, y por muchos que se envíen ninguno consigue arrancar el electrón, porque el proceso es fotón a fotón.

$\textbf{b) ¿El radio del átomo de potasio será mayor o menor que el radio del catión potasio? ¿La segunda energía de ionización del potasio será mayor o menor que la primera? Justifique las respuestas basándose en las configuraciones electrónicas y en el modelo atómico de cargas eléctricas. (1,25 puntos)}$

Todo se lee de las configuraciones electrónicas:

$\mathrm{K}\ (Z = 19): \quad 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^1$

$\mathrm{K^+}: \quad 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6$

El radio del átomo de potasio es $\textbf{mayor}$ que el del catión, por dos motivos que actúan en el mismo sentido. El primero es que al ionizarse desaparece la capa más externa entera: el átomo tiene cuatro capas ocupadas y el ion solo tres. El segundo es que en el ion quedan 18 electrones para 19 protones, mientras que en el átomo había 19 y 19; cada electrón restante soporta una carga nuclear efectiva mayor y la nube electrónica se contrae. Por eso todo catión es siempre menor que el átomo del que procede.

La segunda energía de ionización es $\textbf{mayor}$ que la primera, y por mucho. De nuevo hay dos razones. Una general: arrancar un electrón a una especie que ya tiene carga positiva cuesta más, porque la atracción electrostática es más intensa y el radio, menor. Y otra específica y mucho más importante en este caso: el segundo electrón habría que sacarlo de la configuración $1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6$, que es la del argón, un gas noble. Romper una capa completa exige una energía enormemente superior, y por eso el potasio forma siempre $\mathrm{K^+}$ y nunca $\mathrm{K^{2+}}$.