Ejercicio resuelto de Solubilidad · Química · Cataluña · 2023

El yoduro de plomo(II) ($\mathrm{PbI_2}$) es una sal poco soluble de un color amarillo muy intenso. Antiguamente, el yoduro de plomo(II) era utilizado por los artistas como pigmento, con el nombre de amarillo de yodo, pero debido a su toxicidad y baja estabilidad dejó de utilizarse.

a) Escriba el equilibrio de solubilidad del yoduro de plomo(II) y calcule su solubilidad molar a 25 °C. Explique razonadamente si la solubilidad del yoduro de plomo(II) en agua es mayor o menor que su solubilidad en una disolución de yoduro de sodio (NaI). [1,25 puntos]
b) Calcule la concentración de ion plomo(II) necesaria para que precipite yoduro de plomo(II) a partir de una disolución de yoduro de potasio (KI) de concentración $2{,}0 \times 10^{-4}$ M. Si tenemos dos disoluciones de la misma concentración, una de yoduro de potasio y la otra de cloruro de potasio (KCl), ¿cuál de las dos necesitará una concentración más alta de $\mathrm{Pb^{2+}}$ para empezar a precipitar, en el primer caso $\mathrm{PbI_2}$ y en el segundo $\mathrm{PbCl_2}$? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: Constantes del producto de solubilidad a 25 °C: $K_\mathrm{ps}\,(\mathrm{PbI_2}) = 7{,}9 \times 10^{-9}$; $K_\mathrm{ps}\,(\mathrm{PbCl_2}) = 1{,}7 \times 10^{-5}$.

$\textbf{a) Escriba el equilibrio de solubilidad del yoduro de plomo(II) y calcule su solubilidad molar a 25 °C. Explique razonadamente si la solubilidad del yoduro de plomo(II) en agua es mayor o menor que su solubilidad en una disolución de yoduro de sodio. (1,25 puntos)}$

El yoduro de plomo(II) es una sal poco soluble, y en disolución saturada se establece el equilibrio entre el sólido y sus iones. Nótese el coeficiente 2 del yoduro, que será el detalle decisivo en todo el ejercicio:

$\mathrm{PbI_2(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Pb^{2+}(ac)} + 2\,\mathrm{I^-(ac)}$

Llamando $s$ a la solubilidad molar, por cada mol que se disuelve aparece un mol de $\mathrm{Pb^{2+}}$ y dos de $\mathrm{I^-}$:

$K_{ps} = [\mathrm{Pb^{2+}}]\,[\mathrm{I^-}]^2 = s \cdot (2s)^2 = 4s^3$

$s = \sqrt[3]{\frac{K_{ps}}{4}} = \sqrt[3]{\frac{7{,}9 \cdot 10^{-9}}{4}} = \sqrt[3]{1{,}98 \cdot 10^{-9}}$

$s = 1{,}25 \cdot 10^{-3}\ \text{mol/L}$

En una disolución de yoduro de sodio la solubilidad es $\textbf{menor}$. El yoduro de sodio es una sal soluble que se disocia por completo y aporta iones yoduro:

$\mathrm{NaI(s)} \rightarrow \mathrm{Na^+(ac)} + \mathrm{I^-(ac)}$

Ese yoduro es uno de los productos del equilibrio de solubilidad, así que, por el principio de Le Chatelier, el sistema se desplaza hacia la izquierda, hacia el sólido, y se disuelve menos yoduro de plomo. Es el efecto del ion común.

Se ve igual de bien con la expresión de la constante: como $K_{ps}$ solo depende de la temperatura, si $[\mathrm{I^-}]$ aumenta, $[\mathrm{Pb^{2+}}]$ —que es la solubilidad— tiene que disminuir.

$[\mathrm{Pb^{2+}}] = \frac{K_{ps}}{[\mathrm{I^-}]^2}$

Y conviene notar que el efecto es especialmente acusado aquí, porque la concentración de yoduro aparece elevada al cuadrado.

$\textbf{b) Calcule la concentración de ion plomo(II) necesaria para que precipite yoduro de plomo(II) a partir de una disolución de yoduro de potasio de concentración } \boldsymbol{2{,}0 \cdot 10^{-4}}\textbf{ M. Si tenemos dos disoluciones de la misma concentración, una de yoduro de potasio y otra de cloruro de potasio, ¿cuál de las dos necesitará una concentración más alta de Pb²⁺ para empezar a precipitar? (1,25 puntos)}$

La precipitación empieza justo cuando el producto de las concentraciones iónicas alcanza el producto de solubilidad; por debajo de ese valor la disolución no está saturada y no aparece sólido. Basta, por tanto, imponer la igualdad y despejar:

$[\mathrm{Pb^{2+}}]\,[\mathrm{I^-}]^2 = K_{ps}$

$[\mathrm{Pb^{2+}}] = \frac{K_{ps}}{[\mathrm{I^-}]^2} = \frac{7{,}9 \cdot 10^{-9}}{(2{,}0 \cdot 10^{-4})^2} = \frac{7{,}9 \cdot 10^{-9}}{4{,}0 \cdot 10^{-8}}$

$[\mathrm{Pb^{2+}}] = 0{,}20\ \text{mol/L}$

A partir de esa concentración de ion plomo(II), y no antes, empieza a precipitar el yoduro de plomo.

Para el cloruro el planteamiento es idéntico, ya que el cloruro de plomo(II) tiene la misma estequiometría:

$\mathrm{PbCl_2(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Pb^{2+}(ac)} + 2\,\mathrm{Cl^-(ac)}$

$[\mathrm{Pb^{2+}}] = \frac{K_{ps}}{[\mathrm{Cl^-}]^2} = \frac{1{,}7 \cdot 10^{-5}}{(2{,}0 \cdot 10^{-4})^2} = 4{,}3 \cdot 10^{2}\ \text{mol/L}$

La disolución de cloruro de potasio necesita una concentración de $\mathrm{Pb^{2+}}$ muchísimo mayor, unas dos mil veces la del yoduro. La razón es que el producto de solubilidad del cloruro de plomo es más de dos mil veces mayor que el del yoduro:

$K_{ps}(\mathrm{PbCl_2}) = 1{,}7 \cdot 10^{-5} \; \gg \; K_{ps}(\mathrm{PbI_2}) = 7{,}9 \cdot 10^{-9}$

Como las dos sales son del mismo tipo, sus constantes se pueden comparar directamente: el cloruro de plomo es mucho más soluble, cuesta mucho más saturar su disolución y por eso hace falta muchísimo más plomo para que precipite. De hecho, el valor obtenido, del orden de 400 mol/L, es inalcanzable en la práctica, así que con esa concentración de cloruro el cloruro de plomo(II) sencillamente no llegaría a precipitar.