Ejercicio resuelto de Sistema periódico · Química · 2024

El nombre del helio proviene del griego helios, que significa «Sol», ya que este elemento fue detectado primero en el Sol que en la Tierra. En 1868 el astrónomo francés Jules Janssen observó, durante un eclipse solar, una línea espectral a 587,49 nm de un elemento desconocido hasta entonces en la Tierra. En la tabla siguiente se muestran los datos de los valores de energía simplificados de los orbitales del átomo de helio.

Orbital	Energía (eV) 3d	23,20 3p	23,04 3s	22,81 2p	21,08 2s	20,20 1s	0

a) Calcule a qué transición electrónica desde el orbital 3d corresponde la línea espectral observada por Janssen. ¿Qué frecuencia debería tener una radiación para excitar un electrón de helio desde el estado fundamental hasta el orbital 3s? [1,25 puntos]
b) ¿Cuáles son y cómo se enuncian las bases fundamentales del modelo atómico mecanocuántico actual? Explique qué es un orbital atómico según el modelo mecanocuántico. Diga cuáles son los números cuánticos de los electrones de valencia de un átomo de helio y de un átomo de neón. [1,25 puntos]

Datos: Números atómicos: $Z(\mathrm{H}\mathrm{e})=2$; $Z(\mathrm{N}\mathrm{e})=10$. Velocidad de la luz en el vacío: $c=\mathrm{3,0}\times {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Constante de Planck: $h=\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$. $1\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\mathrm{J}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{3d}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{espectral}}\mathbf{\text{observada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{Janssen.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{excitar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{helio}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{estado}}\mathbf{\text{fundamental}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{3s?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una línea del espectro de emisión corresponde a un salto del electrón desde un orbital de más energía a otro de menos, y el fotón emitido se lleva exactamente la diferencia. La estrategia es calcular la energía del fotón de 587,49 nm y buscar en la tabla qué diferencia la reproduce.

$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,0}\cdot {10}^8}{\mathrm{587,49}\cdot {10}^{-9}}=\mathrm{3,39}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Como la tabla está en electronvoltios, se convierte:

$E=\frac{\mathrm{3,39}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}=\mathrm{2,12}\text{ eV}$

Ahora se restan a la energía del orbital 3d las de los orbitales inferiores:

Transición	Diferencia de energía (eV) $3d\to 3p$	$\mathrm{23,20}-\mathrm{23,04}=\mathrm{0,16}$ $3d\to 3s$	$\mathrm{23,20}-\mathrm{22,81}=\mathrm{0,39}$ $3d\to 2p$	$\mathrm{23,20}-\mathrm{21,08}=\mathrm{2,12}$ $3d\to 2s$	$\mathrm{23,20}-\mathrm{20,20}=\mathrm{3,00}$ $3d\to 1s$	$\mathrm{23,20}-0=\mathrm{23,20}$

La única que coincide es la tercera. La línea espectral de 587,49 nm que observó Janssen corresponde a la transición $3d\to 2p$.

Para la segunda parte el proceso es el inverso: hay que absorber un fotón que suba el electrón desde el estado fundamental, que en el helio es el orbital 1s con energía cero, hasta el 3s.

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{22,81}-0=\mathrm{22,81}\text{ eV}=\mathrm{22,81}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{3,65}\cdot {10}^{-18}\text{ J}$

$\nu =\frac{\mathrm{\Delta }E}{h}=\frac{\mathrm{3,65}\cdot {10}^{-18}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}=\mathrm{5,50}\cdot {10}^{15}{\mathrm{s}}^{-1}$

La radiación debería tener una frecuencia de $\mathrm{5,50}\cdot {10}^{15}$ Hz, que corresponde al ultravioleta lejano, muy por encima de la del visible.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{enuncian}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{bases}}\mathbf{\text{fundamentales}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{mecanocu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntico}}\mathbf{\text{actual?}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mico}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{modelo}}\mathbf{\text{mecanocu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntico.}}\mathbf{\text{Diga}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nticos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{valencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{helio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ne}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El modelo mecanocuántico se apoya en tres ideas, ninguna de las cuales cabe en el modelo planetario de Bohr.

i) La dualidad onda-corpúsculo, enunciada por De Broglie: toda partícula en movimiento lleva asociada una onda cuya longitud depende de su masa y su velocidad,

$\lambda =\frac{h}{mv}$

de modo que el electrón no puede tratarse solo como una bolita.

ii) El principio de incertidumbre de Heisenberg: es imposible conocer simultáneamente y con precisión arbitraria la posición y el momento lineal de una partícula,

$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

lo que impide hablar de órbitas, es decir, de trayectorias definidas para el electrón.

iii) La ecuación de Schrödinger, cuya resolución para el átomo da las funciones de onda $\psi$ y las energías permitidas. La interpretación de Born añade que $\mathrm{\mid }\psi {\mathrm{\mid }}^2$ es una densidad de probabilidad.

Un orbital atómico es, precisamente, cada una de esas funciones de onda $\psi$ solución de la ecuación de Schrödinger; en la práctica se representa por la región del espacio en la que la probabilidad de encontrar el electrón es alta, habitualmente el 90 %. No es una órbita ni un recorrido: es una distribución de probabilidad. Cada orbital queda definido por tres números cuánticos, $n$ (nivel y tamaño), $l$ (forma) y $m_l$ (orientación), y admite como mucho dos electrones, que se diferencian en el cuarto número, el de espín $m_s$, por el principio de exclusión de Pauli.

Los electrones de valencia son los de la capa más externa.

El helio, con $Z=2$, tiene la configuración $1s^2$; sus dos electrones de valencia están en el orbital 1s:

$n=1,l=0,m_l=0,m_s=+\frac{1}{2}\text{ y }-\frac{1}{2}$

El neón, con $Z=10$, tiene la configuración $1s^{2}2s^{2}2p^6$, y su capa de valencia es la segunda, con ocho electrones. Los dos del orbital 2s tienen

$n=2,l=0,m_l=0,m_s=\pm \frac{1}{2}$

y los seis de los orbitales 2p,

$n=2,l=1,m_l=-1,0,+1,m_s=\pm \frac{1}{2}$

es decir, tres orbitales 2p distintos con dos electrones cada uno.