Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

PREGUNTA 4. ESTADÍSTICA Y ÁLGEBRA. (3 puntos)

Responda uno de los siguientes dos apartados de Estadística: 4.1. o 4.2. (1,5 puntos)

4.1. La cantidad de agua (en litros) que se consume en el lavado de un coche en una estación de autolavado se distribuye normalmente con una desviación típica de $\sigma = 20$ litros. Tomada una muestra de $n = 64$ coches, se ha determinado que el consumo medio de agua está comprendido entre 76,1 litros y 85,9 litros. ¿Con qué nivel de confianza se ha realizado esta afirmación?

Nota: Para resolver el apartado anterior puede emplearse alguno de los siguientes valores relacionados con las tablas de la normal estándar:

$P(Z < 2{,}05) = 0{,}98 \ ;\ P(Z < 2{,}326) = 0{,}99 \ ;\ P(Z > 1{,}645) = 0{,}05 \ ;\ P(Z > 1{,}96) = 0{,}025$

4.2. El 90 % de los individuos de una población tienen cuenta bancaria. Elegidos 5 individuos de esa población.

4.2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que todos tengan cuenta bancaria?

4.2.2. Calcule la probabilidad de que, entre los 5 individuos, menos de 2 tengan cuenta bancaria.

Responda uno de los siguientes dos apartados de Álgebra: 4.3. o 4.4. (1,5 puntos)

4.3. Considere las matrices

$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & -1 \\ a & 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c \end{pmatrix}$

Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones que se obtiene al plantear la siguiente igualdad matricial $A \cdot B = C$.

4.4. Dadas las matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \\ 1 & k^2 \end{pmatrix}$

Calcule los valores de $k$ para los que la matriz $A^t \cdot B$ tenga inversa, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

$\textbf{4.1. La cantidad de agua (en litros) que se consume en el lavado de un coche en una estación de autolavado se distribuye normalmente con una desviación típica de } \boldsymbol{\sigma = 20}\textbf{ litros. Tomada una muestra de } \boldsymbol{n = 64}\textbf{ coches, se ha determinado que el consumo medio de agua está comprendido entre 76,1 litros y 85,9 litros. ¿Con qué nivel de confianza se ha realizado esta afirmación?}$

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, de modo que su semiamplitud es el error máximo admisible $E$.

$E = \dfrac{85{,}9 - 76{,}1}{2} = \dfrac{9{,}8}{2} = 4{,}9$

Ese error se relaciona con el nivel de confianza mediante la expresión

$E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow 4{,}9 = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{20}{\sqrt{64}} = z_{\alpha/2} \cdot 2{,}5$

$z_{\alpha/2} = \dfrac{4{,}9}{2{,}5} = 1{,}96$

De los valores que da el enunciado, $P(Z > 1{,}96) = 0{,}025$, luego

$\dfrac{\alpha}{2} = 0{,}025 \Rightarrow \alpha = 0{,}05 \Rightarrow 1 - \alpha = 0{,}95$



La afirmación se ha realizado con un nivel de confianza del 95 %.

$\textbf{4.2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que todos tengan cuenta bancaria?}$

Sea $X$ el número de individuos con cuenta bancaria entre los 5 elegidos. Se trata de cinco pruebas independientes con la misma probabilidad de éxito, así que $X$ sigue una distribución binomial $X \sim B(5\,;\,0{,}9)$.

$P(X = 5) = \binom{5}{5}(0{,}9)^5 (0{,}1)^0 = 0{,}9^5 = 0{,}59049$

La probabilidad de que los cinco individuos tengan cuenta bancaria es $0{,}59049$, algo menos del 60 %.

$\textbf{4.2.2. Calcule la probabilidad de que, entre los 5 individuos, menos de 2 tengan cuenta bancaria.}$

Que haya menos de dos significa que haya ninguno o uno, y ambos sucesos son incompatibles.

$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$

$P(X = 0) = \binom{5}{0}(0{,}9)^0 (0{,}1)^5 = 0{,}00001$

$P(X = 1) = \binom{5}{1}(0{,}9)^1 (0{,}1)^4 = 5 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}0001 = 0{,}00045$

$P(X < 2) = 0{,}00001 + 0{,}00045 = 0{,}00046$

La probabilidad de que menos de dos de los cinco individuos tengan cuenta bancaria es $0{,}00046$, un suceso prácticamente imposible.

$\textbf{4.3. Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones que se obtiene al plantear la siguiente igualdad matricial } \boldsymbol{A \cdot B = C}\textbf{.}$

Efectuamos primero el producto $A \cdot B$, que es una matriz columna de orden $3 \times 1$.

$A \cdot B = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & -1 \\ a & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 1 + b \\ a - b \\ 2a + 1 - b \end{pmatrix}$

Igualando componente a componente con $C$ se obtiene el sistema:

$\begin{cases} 2a + 1 + b = 1 \\ a - b = c \\ 2a + 1 - b = c \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a + b = 0 \\ a - b - c = 0 \\ 2a - b - c = -1 \end{cases}$

En forma matricial, con las incógnitas $a$, $b$ y $c$:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Restando la segunda ecuación de la tercera se despeja de inmediato $a$, y de ahí las otras dos incógnitas:

$(2a - b - c) - (a - b - c) = -1 - 0 \Rightarrow a = -1$

$2(-1) + b = 0 \Rightarrow b = 2; \qquad c = a - b = -1 - 2 = -3$

El sistema queda expresado en forma matricial como se ha indicado y su solución es $a = -1$, $b = 2$ y $c = -3$.

$\textbf{4.4. Calcule los valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ para los que la matriz } \boldsymbol{A^t \cdot B}\textbf{ tenga inversa, siendo } \boldsymbol{A^t}\textbf{ la matriz traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que hay que calcular el producto y su determinante.

$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$A^t \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \\ 1 & k^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 + k + k^2 \\ 6 & 1 + 2k + 3k^2 \end{pmatrix}$

$|A^t \cdot B| = 3(1 + 2k + 3k^2) - 6(1 + k + k^2) = 3 + 6k + 9k^2 - 6 - 6k - 6k^2$

$|A^t \cdot B| = 3k^2 - 3 = 3(k-1)(k+1)$

$3(k-1)(k+1) = 0 \Rightarrow k = 1 \text{ o } k = -1$

La matriz $A^t \cdot B$ tiene inversa para cualquier valor real de $k$ distinto de $1$ y de $-1$.