Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2026

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (3 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 3.1. o 3.2.

3.1.

CONTEXTO

El beneficio de una empresa depende básicamente de sus ventas. Cuando las ventas son pequeñas, el beneficio puede ser negativo debido a los costes fijos. También puede ser negativo cuando las ventas son grandes debido al aumento de los costes de producción. El beneficio diario de una empresa, en cientos de euros, viene dado por la función

$B(x) = -x^2 + 10x - 16$

donde $x$ son los miles de unidades vendidas al día, con $1 \le x \le 9$.

Responda estos tres apartados: 3.1.1., 3.1.2. y 3.1.3.

3.1.1. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo que puede obtener la empresa? ¿Cuántas unidades debe vender para alcanzarlo? Contextualice las respuestas.

3.1.2. Determine los valores de $x$ para los que la empresa obtiene beneficios positivos. Contextualice la respuesta.

3.1.3. Calcule el beneficio medio ($B_m$) obtenido por la empresa cuando vende entre 3000 y 7000 unidades, sabiendo que viene dado por

$B_m = \dfrac{1}{7-3}\int_3^7 B(x)\,dx$

3.2.

CONTEXTO

En el año 2025 las reservas de agua de varios embalses gallegos se han visto comprometidas a causa de la falta de precipitaciones y del aumento de la evaporación del agua debida a las altas temperaturas. Esta situación ha provocado que a finales del verano se haya activado la prealerta por escasez moderada de agua en muchos municipios gallegos, viéndose afectada cerca del 30 % de la población de Galicia. En concreto, en un determinado embalse, se estima que las reservas acumuladas de agua (medidas en porcentaje de su capacidad) vienen dadas por la función

$R(t) = \left\{\begin{array}{lcl} 96 - 2(t-3)^2 & , & 0 \le t \le 6 \\[4pt] 5(t-9)^2 + 33 & , & 6 < t \le 12 \end{array}\right.$

en donde la variable $t$ representa el tiempo transcurrido en meses contados a partir del día 1 de enero de 2025.

Responda estos tres apartados: 3.2.1., 3.2.2. y 3.2.3.

3.2.1. Determine los períodos del año en los que las reservas de agua han aumentado y disminuido. Contextualice las respuestas.

3.2.2. ¿Cuáles han sido las reservas mínimas? ¿En qué momento o momentos se han producido? Contextualice las respuestas.

3.2.3. Utilizando la información de los apartados anteriores represente gráficamente la evolución de las reservas de agua del embalse a lo largo del año 2025.

$\textbf{3.1.1. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo que puede obtener la empresa? ¿Cuántas unidades debe vender para alcanzarlo? Contextualice las respuestas.}$

El beneficio máximo se busca entre los puntos críticos de $B(x)$: derivamos e igualamos a cero.

$B(x) = -x^2 + 10x - 16 \Rightarrow B'(x) = -2x + 10$

$B'(x) = 0 \Rightarrow -2x + 10 = 0 \Rightarrow x = 5$

El valor obtenido pertenece al intervalo $[1,9]$. Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x) = -2 \Rightarrow B''(5) = -2 < 0$

$B(5) = -5^2 + 10 \cdot 5 - 16 = -25 + 50 - 16 = 9$

Como $x$ son miles de unidades y $B$ viene dado en cientos de euros, la empresa alcanza su beneficio máximo, de 900 euros diarios, vendiendo 5000 unidades al día.

$\textbf{3.1.2. Determine los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ para los que la empresa obtiene beneficios positivos. Contextualice la respuesta.}$

Resolvemos la inecuación $B(x) > 0$. Empezamos por los ceros de la función.

$-x^2 + 10x - 16 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x + 16 = 0$

$x = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \dfrac{10 \pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x = 8 \end{cases}$

Se hace un estudio de signos en el intervalo $[1,9]$ tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} \text{Si } x = 1{,}5, \quad B(1{,}5) = -2{,}25 + 15 - 16 = -3{,}25 < 0 \\ \text{Si } x = 5, \quad B(5) = 9 > 0 \\ \text{Si } x = 9, \quad B(9) = -81 + 90 - 16 = -7 < 0 \end{cases}$



El beneficio es positivo para $2 < x < 8$, es decir, la empresa gana dinero cuando vende diariamente entre 2000 y 8000 unidades, sin llegar a ninguno de los dos extremos.

$\textbf{3.1.3. Calcule el beneficio medio (}\boldsymbol{B_m}\textbf{) obtenido por la empresa cuando vende entre 3000 y 7000 unidades.}$

Sustituimos $B(x)$ en la expresión que da el enunciado y aplicamos la regla de Barrow.

$B_m = \dfrac{1}{7-3}\int_3^7 (-x^2 + 10x - 16)\,dx = \dfrac{1}{4}\left[-\dfrac{x^3}{3} + 5x^2 - 16x\right]_3^7$

$\left[-\dfrac{x^3}{3} + 5x^2 - 16x\right]_3^7 = \left(-\dfrac{343}{3} + 245 - 112\right) - \left(-9 + 45 - 48\right)$

$= \left(-\dfrac{343}{3} + 133\right) - (-12) = \dfrac{56}{3} + 12 = \dfrac{92}{3}$

$B_m = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{92}{3} = \dfrac{23}{3} \approx 7{,}67$

El beneficio medio de la empresa cuando vende entre 3000 y 7000 unidades diarias es de $\frac{23}{3}$ cientos de euros, es decir, unos 766,67 euros al día.

$\textbf{3.2.1. Determine los períodos del año en los que las reservas de agua han aumentado y disminuido. Contextualice las respuestas.}$

Los períodos de crecimiento y decrecimiento los da el signo de la derivada, que se calcula en cada trozo por separado.

$R'(t) = \begin{cases} -4(t-3) & 0 \le t \le 6 \\ 10(t-9) & 6 < t \le 12 \end{cases}$

$-4(t-3) = 0 \Rightarrow t = 3; \qquad 10(t-9) = 0 \Rightarrow t = 9$

En el primer trozo la derivada es positiva antes de $t = 3$ y negativa después; en el segundo es negativa antes de $t = 9$ y positiva después. En $t = 6$ solo cambia la expresión de la función, no su comportamiento: las dos ramas valen 78 ahí y la función sigue decreciendo.



Las reservas de agua aumentaron durante los tres primeros meses del año y durante los tres últimos, es decir, de enero a abril y de octubre a enero de 2026; disminuyeron entre abril y octubre.

$\textbf{3.2.2. ¿Cuáles han sido las reservas mínimas? ¿En qué momento o momentos se han producido? Contextualice las respuestas.}$

El mínimo absoluto en un intervalo cerrado se busca entre los puntos donde cambia el crecimiento y los extremos del intervalo.

$R(0) = 96 - 2(0-3)^2 = 96 - 18 = 78$

$R(9) = 5(9-9)^2 + 33 = 33$

$R(12) = 5(12-9)^2 + 33 = 45 + 33 = 78$

Comparando los tres valores, $33 < 78$.

Las reservas mínimas del embalse fueron del 33 % de su capacidad y se produjeron en un único momento, $t = 9$, es decir, al comenzar el mes de octubre de 2025.

$\textbf{3.2.3. Utilizando la información de los apartados anteriores represente gráficamente la evolución de las reservas de agua del embalse a lo largo del año 2025.}$

Con los datos anteriores se conocen ya las dos parábolas: la primera tiene su vértice en $(3,96)$ y la segunda en $(9,33)$, y ambas empalman en $(6,78)$ sin salto.



La gráfica muestra un embalse que se llena hasta el 96 % a comienzos de abril, se vacía durante la primavera y el verano hasta el 33 % de octubre y se recupera hasta el 78 % al cerrar el año.