Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2 puntos)

CONTEXTO

En un ayuntamiento gallego, se realizó una encuesta a estudiantes que estaban preparando las pruebas de acceso a la universidad (PAU) de 2026. La mayoría estudian en casa y/o en la biblioteca municipal. Otras opciones que tuvieron menos respuestas fueron: cafeterías tranquilas, zonas de descanso del centro comercial y medios de transporte público. El 80 % estudia en casa o en la biblioteca municipal, el 15 % estudia en casa y en la biblioteca municipal y el 40 % no estudia en casa.

En el caso de que un porcentaje superior al 30 % estudie en la biblioteca municipal, los responsables del ayuntamiento ampliarán su horario durante los días anteriores a las PAU 2026.

Responda estos dos apartados: 1.1. y 1.2.

1.1. Si al elegir una persona de la encuesta dice que estudia en casa, ¿cuál es la probabilidad de que no lo haga en la biblioteca municipal?

1.2. ¿Ampliarán los responsables del ayuntamiento el horario de la biblioteca municipal durante los días anteriores a las PAU 2026? Justifique la respuesta.

Nombramos los sucesos:

$C \equiv$ estudiar en casa,

$B \equiv$ estudiar en la biblioteca municipal.

Los tres porcentajes del contexto se traducen así: el 80 % estudia en casa o en la biblioteca, el 15 % en las dos y el 40 % no estudia en casa.

$P(C \cup B) = 0{,}80 \qquad P(C \cap B) = 0{,}15 \qquad P(\overline{C}) = 0{,}40$

De la probabilidad del suceso contrario se obtiene la de estudiar en casa:

$P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60$

$\textbf{1.1. Si al elegir una persona de la encuesta dice que estudia en casa, ¿cuál es la probabilidad de que no lo haga en la biblioteca municipal?}$

Se pide la probabilidad condicionada $P(\overline{B} \mid C)$. Aplicamos su definición, para lo que hace falta el numerador: quienes estudian en casa se reparten entre los que además van a la biblioteca y los que no.

$P(C \cap \overline{B}) = P(C) - P(C \cap B) = 0{,}60 - 0{,}15 = 0{,}45$

$P(\overline{B} \mid C) = \dfrac{P(C \cap \overline{B})}{P(C)} = \dfrac{0{,}45}{0{,}60} = 0{,}75$

De los estudiantes que estudian en casa, el 75 % no utiliza la biblioteca municipal.

$\textbf{1.2. ¿Ampliarán los responsables del ayuntamiento el horario de la biblioteca municipal durante los días anteriores a las PAU 2026? Justifique la respuesta.}$

Hay que decidir si $P(B)$ supera el 30 %. La despejamos de la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(C \cup B) = P(C) + P(B) - P(C \cap B)$

$0{,}80 = 0{,}60 + P(B) - 0{,}15$

$P(B) = 0{,}80 - 0{,}60 + 0{,}15 = 0{,}35$

El 35 % de los encuestados estudia en la biblioteca municipal, porcentaje superior al 30 % exigido, de modo que los responsables del ayuntamiento sí ampliarán el horario de la biblioteca durante los días anteriores a las PAU 2026.