Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 4. TRES BLOQUES DE LA MATERIA. (2,5 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 4.1., 4.2. o cualquiera de los apartados no escogidos de las preguntas 2 y 3 (2.1, 2.2, 3.1 o 3.2)

4.1. Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que:

$P(A \mid B) = 1/2,\quad P(B \mid A) = 1/3 \quad \text{y} \quad P(A \cup B) = 1/4$

4.1.1. Calcule $P(A \cap B)$.

4.1.2. Justifique si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes.

4.2. Un estudio revela que el 40% de los automóviles nuevos matriculados en Galicia en el último año son propulsados por un motor con tecnología híbrida. Si en un control de carreteras son inspeccionados 5 automóviles nuevos matriculados en Galicia en el último año.

4.2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos cuente con un motor con tecnología híbrida?

4.2.2. Calcule la probabilidad de que, entre los 5 automóviles, más de 3 cuenten con un motor con tecnología híbrida.

$\textbf{4.1.1. Calcule } \boldsymbol{P(A \cap B)}\textbf{.}$

Las dos probabilidades condicionadas dan la misma intersección vista desde cada suceso, así que sirven para relacionar $P(A)$ y $P(B)$.

$P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A \mid B) = \dfrac{P(B)}{2}$

$P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B \mid A) = \dfrac{P(A)}{3}$

$\dfrac{P(B)}{2} = \dfrac{P(A)}{3} \Rightarrow P(A) = \dfrac{3}{2}P(B)$

Llevamos ambas expresiones a la fórmula de la probabilidad de la unión, que sí es dato.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}P(B) + P(B) - \dfrac{P(B)}{2} = 2P(B)$

$P(B) = \dfrac{1}{8} \Rightarrow P(A) = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{16}$

$P(A \cap B) = \dfrac{P(B)}{2} = \dfrac{1}{16}$

La probabilidad de la intersección es $P(A \cap B) = \frac{1}{16} = 0{,}0625$.

$\textbf{4.1.2. Justifique si los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son o no independientes.}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B) = \dfrac{3}{16}\cdot\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{128}$

$P(A \cap B) = \dfrac{1}{16} = \dfrac{8}{128} \neq \dfrac{3}{128}$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

$\textbf{4.2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos cuente con un motor con tecnología híbrida?}$

Sea $X$ el número de automóviles híbridos entre los 5 inspeccionados. Son cinco pruebas independientes con la misma probabilidad de éxito, así que $X \sim B(5\,;\,0{,}4)$.

$P(X = 0) = \binom{5}{0}(0{,}4)^0(0{,}6)^5 = 0{,}6^5 = 0{,}07776$

La probabilidad de que ninguno de los cinco automóviles sea híbrido es $0{,}07776$, algo menos del 8 %.

$\textbf{4.2.2. Calcule la probabilidad de que, entre los 5 automóviles, más de 3 cuenten con un motor con tecnología híbrida.}$

Que haya más de tres significa que haya cuatro o cinco, y los dos sucesos son incompatibles.

$P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5)$

$P(X = 4) = \binom{5}{4}(0{,}4)^4(0{,}6)^1 = 5 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}6 = 0{,}0768$

$P(X = 5) = \binom{5}{5}(0{,}4)^5 = 0{,}01024$

$P(X > 3) = 0{,}0768 + 0{,}01024 = 0{,}08704$

La probabilidad de que más de tres de los cinco automóviles inspeccionados sean híbridos es $0{,}08704$, algo menos del 9 %.