Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1. La evolución del precio (en euros) de un protector de pantalla para móvil a lo largo del año 2024 viene dado por la función

$P(t) = \left\{\begin{array}{lcl} 9 - t^2 + 8t & \text{si} & 0 \le t < 7 \\ (t-10)^2 + 7 & \text{si} & 7 \le t \le 12 \end{array}\right.$

en donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses.

3.1.1. ¿Cuál fue el precio inicial de ese protector de pantalla? ¿Cuál ha sido su precio al final del año?

3.1.2. Determine en qué períodos ha aumentado y disminuido el precio del protector.

3.1.3. ¿Cuál ha sido el precio máximo alcanzado? ¿Y el mínimo? ¿En qué momentos se producen? Razone las respuestas.

3.2. Dada la función $f(x) = -8x^2 + 24x - 10$.

3.2.1. Realice su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.

3.2.2. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f$ y las rectas $x = 1$, $x = 2$ e $y = 4$.

$\textbf{3.1.1. ¿Cuál fue el precio inicial de ese protector de pantalla? ¿Cuál ha sido su precio al final del año?}$

El precio inicial corresponde a $t = 0$ y el del final del año a $t = 12$; cada uno cae en un trozo distinto de la función.

$P(0) = 9 - 0^2 + 8 \cdot 0 = 9$

$P(12) = (12-10)^2 + 7 = 4 + 7 = 11$

El protector de pantalla costaba 9 euros al empezar el año y 11 euros al terminarlo.

$\textbf{3.1.2. Determine en qué períodos ha aumentado y disminuido el precio del protector.}$

Derivamos cada trozo por separado y estudiamos el signo de la derivada.

$P'(t) = \begin{cases} -2t + 8 & 0 \le t < 7 \\ 2(t-10) & 7 < t \le 12 \end{cases}$

$-2t + 8 = 0 \Rightarrow t = 4; \qquad 2(t-10) = 0 \Rightarrow t = 10$

En el primer trozo la derivada es positiva antes de $t = 4$ y negativa después; en el segundo es negativa antes de $t = 10$ y positiva después. En $t = 7$ solo cambia la expresión: los dos trozos valen ahí 16 euros y el precio sigue bajando.



El precio del protector aumentó durante los cuatro primeros meses del año y durante los dos últimos; disminuyó entre el cuarto mes y el décimo.

$\textbf{3.1.3. ¿Cuál ha sido el precio máximo alcanzado? ¿Y el mínimo? ¿En qué momentos se producen? Razone las respuestas.}$

Los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado se buscan entre los puntos donde cambia el crecimiento y los extremos del intervalo.

$P(0) = 9 \qquad P(4) = 9 - 16 + 32 = 25 \qquad P(10) = 0 + 7 = 7 \qquad P(12) = 11$

Comparando los cuatro valores, $7 < 9 < 11 < 25$.

El precio máximo fue de 25 euros y se alcanzó a los 4 meses, coincidiendo con el máximo relativo del primer trozo; el precio mínimo fue de 7 euros y se alcanzó a los 10 meses, en el mínimo relativo del segundo trozo.

$\textbf{3.2.1. Realice su representación gráfica estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremo relativo.}$

Cortes con los ejes. Si $x = 0$:

$f(0) = -10 \Rightarrow (0,-10)$

Si $y = 0$:

$-8x^2 + 24x - 10 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 12x + 5 = 0$

$x = \dfrac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{8} = \dfrac{12 \pm 8}{8} \Rightarrow \begin{cases} x = 0{,}5 \\ x = 2{,}5 \end{cases}$

Monotonía y extremo relativo:

$f'(x) = -16x + 24 \Rightarrow f'(x) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{24}{16} = 1{,}5$

$f''(x) = -16 < 0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x = 1{,}5$ hay un máximo relativo. La función crece en $(-\infty\,;\,1{,}5)$ y decrece en $(1{,}5\,;\,+\infty)$.

$f(1{,}5) = -8 \cdot 2{,}25 + 36 - 10 = 8$



La gráfica es una parábola abierta hacia abajo, con vértice en $(1{,}5\,;\,8)$, que corta al eje de abscisas en $(0{,}5\,;\,0)$ y $(2{,}5\,;\,0)$ y al de ordenadas en $(0,-10)$.

$\textbf{3.2.2. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ e } \boldsymbol{y = 4}\textbf{.}$

Entre $x = 1$ y $x = 2$ la parábola queda por encima de la recta $y = 4$, pues $f(1) = f(2) = 6 > 4$ y el vértice vale 8. El área es la integral de la diferencia.

$\text{Área} = \int_1^2 \left[(-8x^2 + 24x - 10) - 4\right] dx = \int_1^2 (-8x^2 + 24x - 14)\,dx$

$= \left[-\dfrac{8x^3}{3} + 12x^2 - 14x\right]_1^2 = \left(-\dfrac{64}{3} + 48 - 28\right) - \left(-\dfrac{8}{3} + 12 - 14\right)$

$= \left(-\dfrac{64}{3} + 20\right) - \left(-\dfrac{8}{3} - 2\right) = -\dfrac{56}{3} + 22 = \dfrac{10}{3}$



El área del recinto es de $\frac{10}{3} \approx 3{,}33$ unidades de área.