Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Consideramos las matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}$

2.1.1. Calcule la inversa de la matriz $A$.

2.1.2. Calcule la matriz $BA^t$ y determine su rango (siendo $A^t$ la matriz traspuesta de A).

2.1.3. Despeje $X$ en la ecuación matricial $XA + B = BA^t$ y calcúlela.

2.2. Considere el sistema de inecuaciones dado por:

$x + y \le 4 \qquad 3x \le 4 + 5y \qquad y \le 7x + 12$

2.2.1. Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

2.2.2. Justifique si los puntos $P(2,1)$ y $Q(0,-1)$ están o no en la región factible.

2.2.3. Determine, si existen, los máximos y los mínimos de la función $f(x,y) = 6x - 10y$ sujeta a las restricciones definidas por el sistema de inecuaciones anterior.

$\textbf{2.1.1. Calcule la inversa de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Aplicamos el método de los adjuntos. Primero el determinante, que debe ser distinto de cero.

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 0 + 2(0-1) = 1 - 2 = -1 \neq 0$

Al ser el determinante no nulo, $A$ tiene inversa. Calculamos la matriz de adjuntos y la trasponemos.

$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow (\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}(A))^t = -\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\textbf{2.1.2. Calcule la matriz } \boldsymbol{BA^t}\textbf{ y determine su rango (siendo } \boldsymbol{A^t}\textbf{ la matriz traspuesta de A).}$

$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$BA^t = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

El rango es como mucho 2 por ser una matriz de dos filas. Comprobamos si las dos filas son proporcionales:

$(-2, 2, 0) = -2 \cdot (1, -1, 0)$

La segunda fila es la primera multiplicada por $-2$, luego todos los menores de orden 2 se anulan y queda un menor de orden 1 no nulo.

El rango de $BA^t$ es 1.

$\textbf{2.1.3. Despeje } \boldsymbol{X}\textbf{ en la ecuación matricial } \boldsymbol{XA + B = BA^t}\textbf{ y calcúlela.}$

Se despeja multiplicando por $A^{-1}$ por la derecha, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$XA + B = BA^t \Rightarrow XA = BA^t - B \Rightarrow X = (BA^t - B)\cdot A^{-1}$

$BA^t - B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 6 \\ 8 & -2 & -12 \end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 6 \\ 8 & -2 & -12 \end{pmatrix}$.

$\textbf{2.2.1. Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.}$

Escribimos cada inecuación con todos los términos a un lado para reconocer su recta frontera.

$\begin{cases} x + y \le 4 \\ 3x \le 4 + 5y \Rightarrow 3x - 5y - 4 \le 0 \\ y \le 7x + 12 \Rightarrow 7x - y + 12 \ge 0 \end{cases}$

La región factible es el triángulo coloreado en azul.



Cada vértice es la solución del sistema que forman dos de las rectas.

Vértice $A$:

$\begin{cases} 3x - 5y = 4 \\ y = 7x + 12 \end{cases} \Rightarrow 3x - 5(7x+12) = 4 \Rightarrow -32x = 64$

$x = -2 \Rightarrow y = 7(-2) + 12 = -2 \Rightarrow A(-2,-2)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ y = 7x + 12 \end{cases} \Rightarrow x + 7x + 12 = 4 \Rightarrow 8x = -8$

$x = -1 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow B(-1,5)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ 3x - 5y = 4 \end{cases} \Rightarrow x = 4 - y \Rightarrow 3(4-y) - 5y = 4 \Rightarrow -8y = -8$

$y = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow C(3,1)$

Los vértices de la región factible son $A(-2,-2)$, $B(-1,5)$ y $C(3,1)$.

$\textbf{2.2.2. Justifique si los puntos } \boldsymbol{P(2,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q(0,-1)}\textbf{ están o no en la región factible.}$

Sustituimos las coordenadas de cada punto en las tres inecuaciones.

Para $P(2,1)$:

$\begin{cases} 2 + 1 = 3 \le 4 & \text{cierto} \\ 3 \cdot 2 = 6 \le 4 + 5 \cdot 1 = 9 & \text{cierto} \\ 1 \le 7 \cdot 2 + 12 = 26 & \text{cierto} \end{cases}$

Para $Q(0,-1)$:

$\begin{cases} 0 + (-1) = -1 \le 4 & \text{cierto} \\ 3 \cdot 0 = 0 \le 4 + 5(-1) = -1 & \text{falso} \\ -1 \le 7 \cdot 0 + 12 = 12 & \text{cierto} \end{cases}$

El punto $P(2,1)$ sí está en la región factible, porque cumple las tres restricciones. El punto $Q(0,-1)$ no está, porque incumple la segunda.

$\textbf{2.2.3. Determine, si existen, los máximos y los mínimos de la función } \boldsymbol{f(x,y) = 6x - 10y}\textbf{ sujeta a las restricciones definidas por el sistema de inecuaciones anterior.}$

Al ser la región factible un recinto convexo y cerrado, el teorema fundamental de la programación lineal garantiza que los extremos se alcanzan en los vértices.

$f(-2,-2) = 6(-2) - 10(-2) = -12 + 20 = 8$

$f(-1,5) = 6(-1) - 10 \cdot 5 = -6 - 50 = -56$

$f(3,1) = 6 \cdot 3 - 10 \cdot 1 = 18 - 10 = 8$

El mínimo vale $-56$ y se alcanza únicamente en el vértice $B(-1,5)$. El máximo vale 8 y lo alcanzan a la vez los vértices $A(-2,-2)$ y $C(3,1)$, de modo que se alcanza en todos los puntos del lado que los une, el apoyado en la recta $3x - 5y = 4$.