Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2,5 puntos)

CONTEXTO

Una de las principales novedades de las pruebas PAU 2025 es que el examen de cada materia debe incluir un ejercicio obligatorio y de carácter "más competencial". Aunque las notas se publican la semana siguiente de haberse realizado el examen, los miembros del grupo de trabajo de la materia Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II están interesados en determinar cuanto antes si se han producido cambios relevantes en la nota media de la materia que coordinan con relación a las notas de cursos pasados.

Con este objetivo han contactado previamente con un grupo de correctores, de los que cada uno de ellos se ha comprometido a corregir un máximo de 25 exámenes el primer día. Por los datos de otros cursos, las notas de esta materia pueden suponerse que siguen una distribución normal con desviación típica igual a 1,5.

Responda estos tres apartados: 1.1., 1.2. y 1.3.

1.1. Si se quiere estimar esta nota media con un error máximo de 0,25, empleando un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el número mínimo de correctores que se necesitan?

1.2. Una vez corregidos los 100 primeros exámenes, la nota media resultó ser igual a 7,2. A partir de esta muestra, calcule un intervalo de confianza con nivel de confianza del 95% de la nota media.

1.3. Una vez corregidos todos los exámenes, se eligen 25 al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la nota media de estos 25 exámenes sea superior a 7 si sabemos que $\mu = 7{,}3$?

$\textbf{1.1. Si se quiere estimar esta nota media con un error máximo de 0,25, empleando un nivel de confianza del 95\%, ¿cuál es el número mínimo de correctores que se necesitan?}$

El error máximo admisible al estimar una media con la desviación típica conocida es

$E = z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Para un nivel de confianza del 95 % corresponde $z_{\alpha/2} = 1{,}96$. Imponemos que el error no pase de 0,25 y despejamos el tamaño de la muestra.

$1{,}96 \cdot \dfrac{1{,}5}{\sqrt{n}} \le 0{,}25 \Rightarrow \sqrt{n} \ge \dfrac{1{,}96 \cdot 1{,}5}{0{,}25} = 11{,}76$

$n \ge 11{,}76^2 = 138{,}2976$

Como $n$ ha de ser entero, hacen falta al menos 139 exámenes corregidos. Cada corrector se compromete a corregir un máximo de 25 el primer día, así que

$\dfrac{139}{25} = 5{,}56$

Se necesitan como mínimo 6 correctores, porque con 5 solo se llegaría a 125 exámenes y el error superaría el máximo admitido.

$\textbf{1.2. Una vez corregidos los 100 primeros exámenes, la nota media resultó ser igual a 7,2. A partir de esta muestra, calcule un intervalo de confianza con nivel de confianza del 95\% de la nota media.}$

El intervalo de confianza para la media poblacional con $\sigma$ conocida es

$IC = \left(\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$E = 1{,}96 \cdot \dfrac{1{,}5}{\sqrt{100}} = 1{,}96 \cdot 0{,}15 = 0{,}294$

$IC = (7{,}2 - 0{,}294\,;\, 7{,}2 + 0{,}294) = (6{,}906\,;\, 7{,}494)$

Con un 95 % de confianza, la nota media de la materia está entre 6,906 y 7,494 puntos.

$\textbf{1.3. Una vez corregidos todos los exámenes, se eligen 25 al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la nota media de estos 25 exámenes sea superior a 7 si sabemos que } \boldsymbol{\mu = 7{,}3}\textbf{?}$

La media de una muestra de tamaño 25 tomada de una población normal se distribuye también normalmente:

$\bar{X} \sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(7{,}3\,;\,\dfrac{1{,}5}{5}\right) = N(7{,}3\,;\,0{,}3)$

Tipificamos y usamos la simetría de la campana para poder leer la tabla.

$P(\bar{X} > 7) = P\left(Z > \dfrac{7 - 7{,}3}{0{,}3}\right) = P(Z > -1) = P(Z < 1) = 0{,}8413$



La probabilidad de que la nota media de esos 25 exámenes supere el 7 es $0{,}8413$, algo más del 84 %.