Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 4. TRES BLOQUES DE LA MATERIA. (2,5 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 4.1., 4.2. o cualquiera de los apartados no escogidos de las preguntas 2 y 3 (2.1, 2.2, 3.1 o 3.2)

4.1. Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que:

$P(A) = 0{,}40,\quad P(A \cap B) = 0{,}21 \quad \text{y} \quad P(A \mid B) = 0{,}60$

4.1.1. Calcule $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ y $P(\bar{B} \mid A)$.

4.1.2. Justifique si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes.

4.2. Una encuesta realizada a 100 individuos de una población revela que 80 de ellos están satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica.

4.2.1. Calcule un intervalo con un 95% de confianza para la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica.

4.2.2. Si se sabe que 8 de cada 10 individuos están satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica y se toma una muestra de 100 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica sea superior al 87%?

$\textbf{4.1.1. Calcule } \boldsymbol{P(\bar{A} \cap \bar{B})}\textbf{ y } \boldsymbol{P(\bar{B} \mid A)}\textbf{.}$

Antes de nada obtenemos $P(B)$, que no viene dada, despejándola de la definición de probabilidad condicionada.

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow 0{,}60 = \dfrac{0{,}21}{P(B)} \Rightarrow P(B) = \dfrac{0{,}21}{0{,}60} = 0{,}35$

Por las leyes de De Morgan, el suceso $\bar{A} \cap \bar{B}$ es el contrario de $A \cup B$.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}40 + 0{,}35 - 0{,}21 = 0{,}54$

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46$

Para la segunda probabilidad aplicamos la definición de condicionada:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}40 - 0{,}21 = 0{,}19$

$P(\bar{B} \mid A) = \dfrac{P(A \cap \bar{B})}{P(A)} = \dfrac{0{,}19}{0{,}40} = 0{,}475$

Las probabilidades pedidas son $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}46$ y $P(\bar{B} \mid A) = 0{,}475$.

$\textbf{4.1.2. Justifique si los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son o no independientes.}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(A) \cdot P(B) = 0{,}40 \cdot 0{,}35 = 0{,}14$

$P(A \cap B) = 0{,}21 \neq 0{,}14$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes: que ocurra uno modifica la probabilidad del otro.

$\textbf{4.2.1. Calcule un intervalo con un 95\% de confianza para la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica.}$

La proporción muestral es el punto de partida del intervalo.

$\hat{p} = \dfrac{80}{100} = 0{,}8 \qquad n = 100$

Para un nivel de confianza del 95 % corresponde $z_{\alpha/2} = 1{,}96$. El intervalo de confianza para una proporción es

$IC = \left(\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$

$\sqrt{\dfrac{0{,}8 \cdot 0{,}2}{100}} = \sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$

$E = 1{,}96 \cdot 0{,}04 = 0{,}0784$

$IC = (0{,}8 - 0{,}0784\,;\, 0{,}8 + 0{,}0784) = (0{,}7216\,;\, 0{,}8784)$

Con un 95 % de confianza, la proporción de individuos satisfechos con su compañía eléctrica está entre el 72,16 % y el 87,84 %.

$\textbf{4.2.2. Si se sabe que 8 de cada 10 individuos están satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica y se toma una muestra de 100 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica sea superior al 87\%?}$

Ahora la proporción poblacional es conocida, $p = 0{,}8$, y la distribución muestral de proporciones para $n = 100$ es

$\hat{p} \sim N\left(p\,;\,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right) = N(0{,}8\,;\,0{,}04)$

Tipificamos el valor 0,87 y usamos el suceso contrario para poder leer la tabla.

$P(\hat{p} > 0{,}87) = P\left(Z > \dfrac{0{,}87 - 0{,}8}{0{,}04}\right) = P(Z > 1{,}75)$

$P(Z > 1{,}75) = 1 - P(Z \le 1{,}75) = 1 - 0{,}9599 = 0{,}0401$



La probabilidad de que en una muestra de 100 individuos más del 87 % esté satisfecho con su compañía eléctrica es $0{,}0401$, algo más de un 4 %.