Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1. Dada la siguiente función

$B(t) = (4-t)(t-1)^2, \qquad 0 \le t \le 4$

3.1.1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen.

3.1.2. Estudie sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.

3.1.3. Represente la gráfica de la función $B(t)$.

3.2. Dada la función $f(x) = ax^2 + bx - 3$, siendo $a$, $b$ números reales.

3.2.1. Calcule $a$ y $b$ sabiendo que dicha función pasa por el punto $(4,5)$ y tiene un mínimo en $x = 1$.

3.2.2. Para $a = 1$ y $b = -2$, calcule el área limitada por $f(x)$ y la recta $y = x - 3$.

$\textbf{3.1.1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen.}$

Desarrollamos la función para derivarla con comodidad.

$B(t) = (4-t)(t-1)^2 = (4-t)(t^2-2t+1) = -t^3 + 6t^2 - 9t + 4$

$B'(t) = -3t^2 + 12t - 9 = -3(t^2 - 4t + 3) = -3(t-1)(t-3)$

$B'(t) = 0 \Rightarrow t = 1 \text{ y } t = 3$

Estudiamos el signo de la derivada tomando un valor de prueba en cada tramo de $[0,4]$.

$\begin{cases} B'(0{,}5) = -3(-0{,}5)(-2{,}5) = -3{,}75 < 0 \\ B'(2) = -3(1)(-1) = 3 > 0 \\ B'(3{,}5) = -3(2{,}5)(0{,}5) = -3{,}75 < 0 \end{cases}$



La función decrece en $(0,1)$, crece en $(1,3)$ y vuelve a decrecer en $(3,4)$.

$B(1) = (4-1)(1-1)^2 = 0 \qquad B(3) = (4-3)(3-1)^2 = 4$

Hay un mínimo relativo en $(1,0)$, porque la función pasa de decrecer a crecer, y un máximo relativo en $(3,4)$, porque pasa de crecer a decrecer.

$\textbf{3.1.2. Estudie sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.}$

La curvatura la da el signo de la segunda derivada.

$B''(t) = -6t + 12 = -6(t-2)$

$B''(t) = 0 \Rightarrow t = 2$

$\begin{cases} \text{Si } t < 2, \quad B''(t) > 0 \\ \text{Si } t > 2, \quad B''(t) < 0 \end{cases}$

$B(2) = (4-2)(2-1)^2 = 2$

La función es convexa en $(0,2)$ y cóncava en $(2,4)$. Como la segunda derivada cambia de signo, el punto $(2,2)$ es un punto de inflexión.

$\textbf{3.1.3. Represente la gráfica de la función } \boldsymbol{B(t)}\textbf{.}$

Con la información anterior y los valores en los extremos del intervalo, $B(0) = 4$ y $B(4) = 0$, ya se puede trazar la curva.



La gráfica baja desde $(0,4)$ hasta tocar el eje en el mínimo $(1,0)$, sube hasta el máximo $(3,4)$ pasando por la inflexión $(2,2)$ y vuelve a bajar hasta $(4,0)$.

$\textbf{3.2.1. Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ sabiendo que dicha función pasa por el punto } \boldsymbol{(4,5)}\textbf{ y tiene un mínimo en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{.}$

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación. Que la gráfica pase por $(4,5)$ significa $f(4) = 5$; que haya un extremo en $x = 1$ significa $f'(1) = 0$.

$f(4) = 16a + 4b - 3 = 5 \Rightarrow 16a + 4b = 8 \Rightarrow 4a + b = 2$

$f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 0 \Rightarrow b = -2a$

$4a - 2a = 2 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow b = -2$

Como $a = 1 > 0$, la parábola se abre hacia arriba y el extremo es efectivamente un mínimo, tal y como pide el enunciado.

Los valores buscados son $a = 1$ y $b = -2$.

$\textbf{3.2.2. Para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{b = -2}\textbf{, calcule el área limitada por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{y = x - 3}\textbf{.}$

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte entre la parábola y la recta.

$x^2 - 2x - 3 = x - 3 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 3 \end{cases}$

Entre esos dos valores la recta queda por encima de la parábola, así que se integra la diferencia en ese orden.

$\text{Área} = \int_0^3 \left[(x-3) - (x^2-2x-3)\right] dx = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx$

$= \left[\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \left(\dfrac{27}{2} - 9\right) - 0 = \dfrac{9}{2}$



El área limitada por la parábola y la recta es de $\frac{9}{2} = 4{,}5$ unidades de área.