Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.

2.1.1. Calcule la matriz inversa de $A$, $A^{-1}$.

2.1.2. Calcule la inversa de la matriz traspuesta de $A$, $(A^t)^{-1}$, utilizando el apartado anterior.

2.1.3. Despeje y calcule el valor de $X$ en la siguiente ecuación matricial $AX - A^t = X$.

2.2. Se considera el sistema de inecuaciones dado por:

$x \ge y - 4 \qquad x + y \le 8 \qquad 3x + 2y \ge -2 \qquad x - 2 \le 2y$

2.2.1. Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

2.2.2. Justifique si los puntos $P(-1,1)$ y $Q(5,1)$ pertenecen o no a la región anterior.

2.2.3. Determine, si existen, los máximos y los mínimos de la función $f(x,y) = 2x - 4y$ sujeta a las restricciones definidas por el sistema de inecuaciones anterior.

$\textbf{2.1.1. Calcule la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{.}$

Calculamos la inversa por el método de los adjuntos. Empezamos por el determinante, que debe ser distinto de cero.

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1-0) - 0 + 2(2-3) = -1 - 2 = -3 \neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa. Calculamos la matriz de adjuntos y su traspuesta.

$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -7 & -1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow (\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 2 & -7 & 4 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}(A))^t = -\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 2 & -7 & 4 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{7}{3} & -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

$\textbf{2.1.2. Calcule la inversa de la matriz traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{(A^t)^{-1}}\textbf{, utilizando el apartado anterior.}$

No hace falta repetir el cálculo: trasponer e invertir son operaciones que conmutan, es decir, $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$. Basta con trasponer la matriz del apartado anterior.

$(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

$\textbf{2.1.3. Despeje y calcule el valor de } \boldsymbol{X}\textbf{ en la siguiente ecuación matricial } \boldsymbol{AX - A^t = X}\textbf{.}$

Se agrupan a un lado los términos con $X$ y se saca factor común por la izquierda, que es el lado por el que multiplica.

$AX - A^t = X \Rightarrow AX - X = A^t \Rightarrow (A - I)X = A^t$

$X = (A - I)^{-1} \cdot A^t$

$A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad |A-I| = 4 \neq 0$

$(A-I)^{-1} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 4 & -6 & 4 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -\frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -\frac{3}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$.

$\textbf{2.2.1. Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.}$

Reescribimos cada inecuación dejando todos los términos a un lado para identificar la recta frontera.

$\begin{cases} x \ge y - 4 \Rightarrow x - y + 4 \ge 0 \\ x + y \le 8 \\ 3x + 2y \ge -2 \\ x - 2 \le 2y \Rightarrow x - 2y - 2 \le 0 \end{cases}$

La región factible es la zona coloreada en azul, un cuadrilátero cerrado.



Los vértices salen de resolver los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x - y = -4 \\ 3x + 2y = -2 \end{cases} \Rightarrow x = y - 4 \Rightarrow 3(y-4) + 2y = -2 \Rightarrow 5y = 10$

$y = 2 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow A(-2,2)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} 3x + 2y = -2 \\ x - 2y = 2 \end{cases} \Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow B(0,-1)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ x - 2y = 2 \end{cases} \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow C(6,2)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = 8 \end{cases} \Rightarrow 2y = 12 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow D(2,6)$

Los vértices son $A(-2,2)$, $B(0,-1)$, $C(6,2)$ y $D(2,6)$.

$\textbf{2.2.2. Justifique si los puntos } \boldsymbol{P(-1,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{Q(5,1)}\textbf{ pertenecen o no a la región anterior.}$

Un punto pertenece a la región factible si cumple las cuatro inecuaciones a la vez. Basta con sustituir sus coordenadas.

Para $P(-1,1)$:

$\begin{cases} -1 \ge 1 - 4 = -3 & \text{cierto} \\ -1 + 1 = 0 \le 8 & \text{cierto} \\ 3(-1) + 2 \cdot 1 = -1 \ge -2 & \text{cierto} \\ -1 - 2 = -3 \le 2 \cdot 1 = 2 & \text{cierto} \end{cases}$

Para $Q(5,1)$:

$\begin{cases} 5 \ge 1 - 4 = -3 & \text{cierto} \\ 5 + 1 = 6 \le 8 & \text{cierto} \\ 3 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 17 \ge -2 & \text{cierto} \\ 5 - 2 = 3 \le 2 \cdot 1 = 2 & \text{falso} \end{cases}$

El punto $P(-1,1)$ sí pertenece a la región factible, porque cumple las cuatro restricciones. El punto $Q(5,1)$ no pertenece, porque incumple la cuarta.

$\textbf{2.2.3. Determine, si existen, los máximos y los mínimos de la función } \boldsymbol{f(x,y) = 2x - 4y}\textbf{ sujeta a las restricciones definidas por el sistema de inecuaciones anterior.}$

La región factible es un recinto convexo y cerrado, de modo que el teorema fundamental de la programación lineal asegura que los extremos se alcanzan en los vértices. Valoramos $f$ en los cuatro.

$f(-2,2) = 2(-2) - 4 \cdot 2 = -12$

$f(0,-1) = 2 \cdot 0 - 4(-1) = 4$

$f(6,2) = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 2 = 4$

$f(2,6) = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 6 = -20$

El mínimo es $-20$ y se alcanza solo en el vértice $D(2,6)$. El máximo vale 4 y se alcanza a la vez en $B(0,-1)$ y en $C(6,2)$; como los dos son vértices consecutivos, el máximo se alcanza en todos los puntos del lado que los une, el que descansa sobre la recta $x - 2y = 2$.