Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. (2,5 puntos)

CONTEXTO

En la actualidad, existen varias empresas de cosméticos orientadas hacia el público juvenil que elaboran cremas para la piel. Una empresa quiere comercializar una nueva crema para reducir los brotes de acné, para lo que ha contratado los servicios de una compañía de publicidad. Los publicistas proponen lanzar una primera campaña empleando anuncios en prensa escrita y buzoneo. Una vez finalizada esta primera campaña, si la probabilidad de que la nueva crema sea conocida entre el público juvenil es menor que 0,6, pasarán a una segunda campaña colocando cartelería luminosa en lugares estratégicos.

Después de analizar los datos de la primera campaña, han llegado a las siguientes conclusiones: la probabilidad de que el público juvenil conozca la nueva crema por los anuncios en prensa escrita es 0,3 y la probabilidad de que sea conocida por buzoneo es 0,4. Puede suponerse que son independientes los sucesos "conocer la nueva crema por prensa escrita" y "conocer la nueva crema por buzoneo".

Responda estos tres apartados: 1.1., 1.2. y 1.3.

1.1. ¿Lanzará la empresa la segunda campaña de publicidad?

1.2. Suponga que la empresa ha decidido emplear la cartelería luminosa. De los que conocen la nueva crema por buzoneo el 25% también la conocen por la cartelería luminosa, y entre los que conocen la nueva crema por la cartelería luminosa, el 20% también la conocen por buzoneo. De los tres medios empleados (prensa escrita, buzoneo y cartelería luminosa), ¿cuál ha sido el que ha tenido mayor impacto para que la nueva crema sea conocida?

1.3. ¿Son incompatibles los sucesos "conocer la nueva crema por prensa escrita" y "conocer la nueva crema por buzoneo"?

Nombramos los sucesos:

$E \equiv$ conocer la nueva crema por prensa escrita,

$Z \equiv$ conocer la nueva crema por buzoneo,

$L \equiv$ conocer la nueva crema por la cartelería luminosa.

$P(E) = 0{,}3 \qquad P(Z) = 0{,}4$

Como el enunciado permite suponer que $E$ y $Z$ son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades:

$P(E \cap Z) = P(E) \cdot P(Z) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$

$\textbf{1.1. ¿Lanzará la empresa la segunda campaña de publicidad?}$

Hay que comparar con $0{,}6$ la probabilidad de que la crema sea conocida tras la primera campaña, es decir, la de conocerla por prensa escrita o por buzoneo.

$P(E \cup Z) = P(E) + P(Z) - P(E \cap Z) = 0{,}3 + 0{,}4 - 0{,}12 = 0{,}58$

Como $0{,}58 < 0{,}6$, la primera campaña no alcanza el objetivo fijado y la empresa sí lanzará la segunda campaña con cartelería luminosa.

$\textbf{1.2. De los tres medios empleados (prensa escrita, buzoneo y cartelería luminosa), ¿cuál ha sido el que ha tenido mayor impacto para que la nueva crema sea conocida?}$

El impacto de cada medio es la probabilidad de que la crema sea conocida por él, así que falta calcular $P(L)$. Los dos porcentajes nuevos son probabilidades condicionadas:

$P(L \mid Z) = 0{,}25 \qquad P(Z \mid L) = 0{,}20$

De la primera se obtiene la probabilidad de la intersección:

$P(Z \cap L) = P(Z) \cdot P(L \mid Z) = 0{,}4 \cdot 0{,}25 = 0{,}10$

Y de la segunda se despeja $P(L)$:

$P(Z \mid L) = \dfrac{P(Z \cap L)}{P(L)} \Rightarrow 0{,}20 = \dfrac{0{,}10}{P(L)} \Rightarrow P(L) = \dfrac{0{,}10}{0{,}20} = 0{,}50$

Comparando los tres medios, $P(E) = 0{,}3$, $P(Z) = 0{,}4$ y $P(L) = 0{,}5$.

El medio de mayor impacto es la cartelería luminosa, que llega a la mitad del público juvenil.

$\textbf{1.3. ¿Son incompatibles los sucesos "conocer la nueva crema por prensa escrita" y "conocer la nueva crema por buzoneo"?}$

Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden darse a la vez, es decir, cuando la probabilidad de su intersección es nula.

$P(E \cap Z) = 0{,}12 \neq 0$

Los sucesos no son incompatibles: hay un 12 % del público juvenil que conoce la crema por los dos medios a la vez. De hecho, siendo independientes y de probabilidad no nula, es imposible que sean incompatibles.