Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Sea $r$ la recta que pasa por el origen y por $P'$, siendo $P'$ el punto simétrico de $P(1,0,1)$ con respecto al punto $Q(0,1,0)$. Se pide:

4.1.1. Obtenga $P'$ y las ecuaciones paramétricas de $r$.

4.1.2. Determine la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$.

4.2. Considérense los puntos $P(1,0,1)$, $Q(0,1,0)$ y $R(1,1,1)$.

4.2.1. Demuestre que $P$, $Q$ y $R$ no están alineados y obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por ellos.

4.2.2. Calcule el valor o valores de $a$ que hacen que la distancia del punto $S(a,0,0)$ a ese plano $\pi$ sea igual a $\sqrt{2}$ unidades de longitud.

El examen permite elegir entre el apartado 4.1 y el 4.2; se resuelven los dos.

$\textbf{4.1. Sea } \boldsymbol{r}\textbf{ la recta que pasa por el origen y por } \boldsymbol{P'}\textbf{, siendo } \boldsymbol{P'}\textbf{ el punto simétrico de } \boldsymbol{P(1,0,1)}\textbf{ con respecto al punto } \boldsymbol{Q(0,1,0)}\textbf{. Se pide:}$

$\textbf{4.1.1. Obtenga } \boldsymbol{P'}\textbf{ y las ecuaciones paramétricas de } \boldsymbol{r}\textbf{.}$

Que $P'$ sea el simétrico de $P$ respecto del punto $Q$ significa que $Q$ es el punto medio del segmento $\overline{PP'}$.

$Q=\left(\dfrac{1+P'_x}{2},\ \dfrac{0+P'_y}{2},\ \dfrac{1+P'_z}{2}\right)=(0,1,0)$

$\begin{cases} \dfrac{1+P'_x}{2}=0 \Rightarrow P'_x=-1 \\ \dfrac{P'_y}{2}=1 \Rightarrow P'_y=2 \\ \dfrac{1+P'_z}{2}=0 \Rightarrow P'_z=-1 \end{cases} \Rightarrow P'(-1,2,-1)$

La recta $r$ pasa por el origen y por $P'$, de modo que un vector director suyo es

$\vec v_r=\overrightarrow{OP'}=(-1,2,-1)-(0,0,0)=(-1,2,-1)$

y sus ecuaciones paramétricas, tomando el origen como punto de paso, son:

$r:\begin{cases} x=-\lambda \\ y=2\lambda \\ z=-\lambda \end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{4.1.2. Determine la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es perpendicular a } \boldsymbol{r}\textbf{.}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta es un vector normal del plano.

$\vec n_{\sigma}=\vec v_r=(-1,2,-1) \Rightarrow \sigma:-x+2y-z+D=0$

Determinamos $D$ con la condición de que el origen pertenece al plano.

$O(0,0,0)\in\sigma \Rightarrow -0+2\cdot 0-0+D=0 \Rightarrow D=0$

Finalmente, $\sigma:-x+2y-z=0$, o lo que es lo mismo, $\sigma:x-2y+z=0$.

$\textbf{4.2. Considérense los puntos } \boldsymbol{P(1,0,1)}\textbf{, } \boldsymbol{Q(0,1,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{R(1,1,1)}\textbf{.}$

$\textbf{4.2.1. Demuestre que } \boldsymbol{P}\textbf{, } \boldsymbol{Q}\textbf{ y } \boldsymbol{R}\textbf{ no están alineados y obtenga la ecuación implícita del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que pasa por ellos.}$

Tres puntos están alineados cuando los vectores que determinan son proporcionales. Calculamos esos vectores y su producto vectorial, que además nos servirá de vector normal del plano.

$\overrightarrow{PQ}=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)$

$\overrightarrow{PR}=(1,1,1)-(1,0,1)=(0,1,0)$

$\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}=(1,0,-1)$

Como el producto vectorial no es el vector nulo, $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PR}$ son linealmente independientes y, por tanto, los tres puntos no están alineados: determinan un único plano.

$\vec n_{\pi}=(1,0,-1) \Rightarrow \pi:x-z+D=0$

$P(1,0,1)\in\pi \Rightarrow 1-1+D=0 \Rightarrow D=0$

Finalmente, $\pi:x-z=0$. Se comprueba que los otros dos puntos también lo verifican: $0-0=0$ para $Q$ y $1-1=0$ para $R$.

$\textbf{4.2.2. Calcule el valor o valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ que hacen que la distancia del punto } \boldsymbol{S(a,0,0)}\textbf{ a ese plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ sea igual a } \boldsymbol{\sqrt{2}}\textbf{ unidades de longitud.}$











Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano sobre $\pi:x-z=0$.

$d(S,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

$d(S,\pi)=\dfrac{|a-0|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}$





Imponemos ahora la condición del enunciado.

$\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \Rightarrow |a|=2 \Rightarrow a=\pm 2$

Hay por tanto dos puntos que cumplen lo pedido, $S(2,0,0)$ y $S(-2,0,0)$, situados uno a cada lado del plano $\pi$ y ambos a $\sqrt{2}$ unidades de longitud de él.