Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4. (2 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 4B)
Se considera el siguiente sistema lineal dependiente del parámetro real $k$
$\begin{cases} x-3y+z=0\\ x-ky-3z=0\\ 5x-z=0\end{cases}.$

(a) (1 punto) Discute el sistema para los distintos valores de $k$.
(b) (1 punto) Resuelve el sistema en los casos que sea posible.

$\textbf{(a) (1 punto) Discute el sistema para los distintos valores de } \boldsymbol{k}\textbf{.}$

El sistema es homogéneo, de modo que siempre es compatible: la terna nula lo cumple. La discusión se reduce entonces a decidir cuándo la solución es única y cuándo hay infinitas, y eso lo marca el rango de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1 & -k & -3 \\ 5 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$|A|=\left[1\cdot(-k)\cdot(-1)+(-3)\cdot(-3)\cdot 5+1\cdot 1\cdot 0\right]-\left[1\cdot(-k)\cdot 5+(-3)\cdot 1\cdot(-1)+1\cdot(-3)\cdot 0\right]$

$|A|=(k+45+0)-(-5k+3+0)=6k+42$

$|A|=0\ \Rightarrow\ 6k+42=0\ \Rightarrow\ k=-7$

Se distinguen los dos casos. Si $k\neq -7$, el determinante no se anula:

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=3=\text{n.º de incógnitas}$

es decir, sistema compatible determinado, con la solución trivial como única solución.

Si $k=-7$, el determinante es nulo y hay que bajar a los menores de orden dos:

$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix}=7+3=10\neq 0\ \Rightarrow\ \text{rg}(A)=2$

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

es decir, sistema compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

El sistema es compatible determinado para todo $k\neq -7$ y compatible indeterminado uniparamétrico para $k=-7$. Al ser homogéneo, nunca resulta incompatible.

$\textbf{(b) (1 punto) Resuelve el sistema en los casos que sea posible.}$

En el primer caso, $k\neq -7$, el sistema es compatible determinado y homogéneo, de modo que su única solución es la trivial.

$x=0,\qquad y=0,\qquad z=0$

En el segundo caso, $k=-7$, el sistema queda así:

$\begin{cases} x-3y+z=0 \\ x+7y-3z=0 \\ 5x-z=0 \end{cases}$

Como el rango es $2$, se prescinde de una ecuación y se pasa una incógnita al segundo miembro como parámetro. Se conservan las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo, y se toma $z$ como parámetro.

$\begin{cases} x-3y=-z \\ x+7y=3z \end{cases}$

$(x+7y)-(x-3y)=3z-(-z)\ \Rightarrow\ 10y=4z\ \Rightarrow\ y=\dfrac{2z}{5}$

$x=3y-z=\dfrac{6z}{5}-z=\dfrac{z}{5}$

Para que la solución quede sin denominadores se llama $z=5\lambda$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.

$\begin{cases} x=\lambda \\ y=2\lambda \\ z=5\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la ecuación que se había descartado:

$5x-z=5\lambda-5\lambda=0$

Si $k\neq -7$ la única solución es la trivial $(0,0,0)$, y si $k=-7$ las soluciones son todas las ternas de la forma $(\lambda,2\lambda,5\lambda)$ con $\lambda$ real.