Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 4. (2 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 4A)
Se consideran las matrices
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}.$

(a) (0,5 puntos) ¿Es la matriz $B$ invertible?
(b) (1,5 puntos) Resuelve la ecuación matricial $BX-A=A^2$.

$\textbf{(a) (0,5 puntos) ¿Es la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ invertible?}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula el de $B$ por la regla de Sarrus.

$|B|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}=(1\cdot 2\cdot 3+0\cdot 1\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0)-(2\cdot 2\cdot 1+1\cdot 1\cdot 0+3\cdot 0\cdot 0)$

$|B|=6-4=2\neq 0$

La matriz $B$ es invertible, porque su determinante vale $2$ y por tanto no es nulo.

$\textbf{(b) (1,5 puntos) Resuelve la ecuación matricial } \boldsymbol{BX-A=A^2}\textbf{.}$

Se despeja $X$ de la ecuación matricial. Como el producto de matrices no es conmutativo, hay que multiplicar por $B^{-1}$ siempre por la izquierda, que es el lado por el que $B$ multiplica a $X$.

$BX-A=A^2\ \Rightarrow\ BX=A^2+A$

$B^{-1}BX=B^{-1}(A^2+A)\ \Rightarrow\ X=B^{-1}(A^2+A)$

i) Se calcula el segundo miembro. Primero la potencia:

$A^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^2+A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ii) Se calcula la inversa de $B$, que existe por el apartado anterior, mediante la matriz adjunta.

$B^{-1}=\dfrac{1}{|B|}\left(\text{Adj}\,B\right)^{t}$

$\text{Adj}\,B=\begin{pmatrix} 6 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 2 \end{pmatrix}\ \Rightarrow\ \left(\text{Adj}\,B\right)^{t}=\begin{pmatrix} 6 & 0 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 6 & 0 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

iii) Se multiplica para obtener la incógnita.

$X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 6 & 0 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 6 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$BX=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=A^2+A$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$.