Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

PROBLEMA 3. (3 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 3A)

(a) (1,5 puntos) Dibuja el recinto acotado delimitado por las funciones $y=x-1$, $y=2x-2$, $y=x^2-2x+1$.
(b) (1,5 puntos) Calcula el área de dicho recinto.

$\textbf{(a) (1,5 puntos) Dibuja el recinto acotado delimitado por las funciones } \boldsymbol{y=x-1}\textbf{, } \boldsymbol{y=2x-2}\textbf{, } \boldsymbol{y=x^2-2x+1}\textbf{.}$

Para saber dónde se apoya el recinto se cortan las tres curvas dos a dos. Las tres son, respectivamente, una recta, otra recta y una parábola escritas en función de $x-1$, lo que simplifica mucho las cuentas.

$y=x-1\quad ;\quad y=2(x-1)\quad ;\quad y=(x-1)^2$

Corte de las dos rectas:

$x-1=2x-2\ \Rightarrow\ x=1\ \Rightarrow\ y=0\ \Rightarrow\ (1,0)$

Corte de la recta $y=x-1$ con la parábola:

$x-1=(x-1)^2\ \Rightarrow\ (x-1)\left[(x-1)-1\right]=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=1 \\ x=2 \end{cases}$

$x=1\Rightarrow y=0\quad ;\quad x=2\Rightarrow y=1$

Corte de la recta $y=2x-2$ con la parábola:

$2(x-1)=(x-1)^2\ \Rightarrow\ (x-1)\left[(x-1)-2\right]=0\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$

$x=1\Rightarrow y=0\quad ;\quad x=3\Rightarrow y=4$

Las tres curvas pasan a la vez por el punto $(1,0)$, que es por tanto un vértice común. El recinto acotado que encierran entre las tres es el triángulo curvilíneo de vértices $(1,0)$, $(2,1)$ y $(3,4)$: la recta $y=x-1$ lo cierra por abajo entre $x=1$ y $x=2$, la parábola lo cierra por abajo entre $x=2$ y $x=3$, y la recta $y=2x-2$ lo cierra por arriba en todo el intervalo.



$\textbf{(b) (1,5 puntos) Calcula el área de dicho recinto.}$

La frontera superior del recinto es siempre la recta $y=2x-2$, pero la inferior cambia en $x=2$. Por eso el área se calcula como suma de dos integrales definidas, una en cada tramo, restando en cada una la función de abajo a la de arriba.

$A=\int_{1}^{2}\left[(2x-2)-(x-1)\right]dx+\int_{2}^{3}\left[(2x-2)-(x^2-2x+1)\right]dx$

Se simplifican los dos integrandos:

$(2x-2)-(x-1)=x-1$

$(2x-2)-(x^2-2x+1)=-x^2+4x-3$

Primera integral, por la regla de Barrow:

$\int_{1}^{2}(x-1)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-x\right]_{1}^{2}=\left(\dfrac{4}{2}-2\right)-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)=0-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$

Segunda integral:

$\int_{2}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]_{2}^{3}$

$=\left(-\dfrac{27}{3}+2\cdot 9-3\cdot 3\right)-\left(-\dfrac{8}{3}+2\cdot 4-3\cdot 2\right)=0-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2}{3}$

Se suman las dos aportaciones:

$A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{3+4}{6}=\dfrac{7}{6}$

El área del recinto es $\frac{7}{6}\approx 1{,}17$ unidades de área.