Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 1. (2 puntos)
Una empresa que prepara cestas de Navidad dispone de 2400 tabletas de turrón del blando y 1500 tabletas de turrón del duro. La empresa prepara dos tipos de cestas, A y B. Las cestas del tipo A contienen 2 tabletas de turrón del blando y 1 tableta de turrón del duro. Con cada una de estas cestas la empresa obtiene un beneficio de 20 euros. Las cestas del tipo B contienen 2 tabletas de turrón del blando y 3 tabletas de turrón del duro, y con cada una de estas cestas la empresa obtiene un beneficio de 30 euros. Se quiere conocer cuántas cestas de cada tipo hay que preparar y vender para que el beneficio sea máximo.

(a) (0,75 puntos) Di cuál es la función objetivo y cuáles son las restricciones.
(b) (0,75 puntos) Dibuja la región factible.
(c) (0,5 puntos) ¿Cuántas cestas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el mayor beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio?

Se empieza nombrando las variables de decisión y ordenando en una tabla los datos del enunciado, que es lo que permite después escribir las restricciones sin equivocarse de coeficiente.

$x=\,\text{número de cestas del tipo }A$

$y=\,\text{número de cestas del tipo }B$

$$	$\text{Turrón blando}$	$\text{Turrón duro}$	$\text{Beneficio}$ Cesta $A$	2	1	20 € Cesta $B$	2	3	30 € Disponible	2400	1500	$$

$\textbf{(a) (0,75 puntos) Di cuál es la función objetivo y cuáles son las restricciones.}$

La función objetivo es el beneficio total que se obtiene al vender las cestas, y es la que se quiere hacer máxima.

$f(x,y)=20x+30y$

Las restricciones salen de las tabletas disponibles de cada clase de turrón: las cestas preparadas no pueden gastar más turrón del que hay. A ellas se añaden las restricciones de no negatividad, porque no tiene sentido preparar un número negativo de cestas.

$\begin{cases} 2x+2y\leq 2400 \\ x+3y\leq 1500 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$

La primera restricción se simplifica dividiendo entre $2$:

$\begin{cases} x+y\leq 1200 \\ x+3y\leq 1500 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$

La función objetivo es $f(x,y)=20x+30y$ y las restricciones son las cuatro anteriores.

$\textbf{(b) (0,75 puntos) Dibuja la región factible.}$

Cada restricción se dibuja sustituyendo la desigualdad por una igualdad, que es una recta, y quedándose después con el semiplano correspondiente. Basta con dar dos puntos de cada recta.

$x+y=1200\ \Rightarrow\ \text{pasa por }(1200,0)\text{ y }(0,1200)$

$x+3y=1500\ \Rightarrow\ \text{pasa por }(1500,0)\text{ y }(0,500)$

El origen cumple las dos desigualdades, ya que $0\leq 1200$ y $0\leq 1500$, así que la región factible es la que queda por debajo de las dos rectas dentro del primer cuadrante.

De los cuatro vértices, tres se leen directamente de los ejes, $O(0,0)$, $A(0,500)$ y $C(1200,0)$. El cuarto es el corte de las dos rectas, y se obtiene resolviendo el sistema que forman.

$\begin{cases} x+y=1200 \\ x+3y=1500 \end{cases}$

$(x+3y)-(x+y)=1500-1200\ \Rightarrow\ 2y=300\ \Rightarrow\ y=150$

$x=1200-y=1200-150=1050\ \Rightarrow\ B(1050,150)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $O(0,0)$, $A(0,500)$, $B(1050,150)$ y $C(1200,0)$.



$\textbf{(c) (0,5 puntos) ¿Cuántas cestas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el mayor beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio?}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de una función objetivo lineal sobre un recinto convexo y acotado se alcanza siempre en uno de sus vértices. Basta, por tanto, evaluar $f$ en los cuatro y quedarse con el mayor valor.

$\begin{cases} f(0,0)=20\cdot 0+30\cdot 0=0\ \text{euros} \\ f(0,500)=20\cdot 0+30\cdot 500=15\,000\ \text{euros} \\ f(1050,150)=20\cdot 1050+30\cdot 150=25\,500\ \text{euros} \\ f(1200,0)=20\cdot 1200+30\cdot 0=24\,000\ \text{euros} \end{cases}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(1050,150)$.

La empresa debe preparar y vender $1050$ cestas del tipo $A$ y $150$ cestas del tipo $B$, con lo que obtiene un beneficio máximo de $25\,500$ euros.