Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 5
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2
APARTADO 5.2 [2,5 puntos]
Lanzamos 6.000 veces un dado equilibrado de seis caras.

a) [0,9 puntos] Calcula la probabilidad de que el número de veces que salga el cinco sea superior a 1.500.
b) [0,9 puntos] Calcula la probabilidad de que el número de veces que salga el cinco esté comprendido entre 1.000 y 1.100 (incluidos los valores extremos del intervalo).
Consideramos ahora que tenemos un dado cargado. Este dado cumple que la probabilidad de que salga un número impar es el triple de la probabilidad de que salga un número par.
c) [0,7 puntos] Si se lanza dos veces este dado cargado, ¿cuál es la probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtenga un número impar?

Se llama $X$ al número de veces que sale el cinco en los $6000$ lanzamientos. El dado es equilibrado, los lanzamientos son independientes y en cada uno la probabilidad de sacar un cinco es la misma, así que se trata de una binomial.

$X\sim B(n,p)=B\!\left(6000\,;\ \dfrac{1}{6}\right)$

Como $np=1000>5$ y $n(1-p)=5000>5$, la binomial se aproxima por una normal con su misma media y su misma desviación típica.

$\mu=np=6000\cdot\dfrac{1}{6}=1000$

$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{6000\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6}}=\sqrt{833{,}33}\approx 28{,}87$

$X\ \approx\ X'\sim N(1000\,;\ 28{,}87)$

$\textbf{a) [0,9 puntos] Calcula la probabilidad de que el número de veces que salga el cinco sea superior a 1.500.}$

Se aplica la corrección de continuidad de Yates: los valores enteros estrictamente mayores que $1500$ empiezan en $1501$, y el intervalo continuo que les corresponde arranca en $1500{,}5$.

$P(X>1500)=P(X\geq 1501)\approx P(X'>1500{,}5)$

$Z=\dfrac{X'-1000}{28{,}87}\sim N(0,1)$

$P(X'>1500{,}5)=P\left(Z>\dfrac{1500{,}5-1000}{28{,}87}\right)=P(Z>17{,}34)$

El valor tipificado se sale por completo de la tabla, en la que el área acumulada ya vale $1$ a partir de $z=3{,}9$.

$P(Z>17{,}34)=1-\Phi(17{,}34)=1-1=0$

El resultado es coherente con el enunciado: obtener más de $1500$ cincos supondría alejarse más de diecisiete desviaciones típicas de la media.

La probabilidad de que el cinco salga más de $1500$ veces es prácticamente nula.

$\textbf{b) [0,9 puntos] Calcula la probabilidad de que el número de veces que salga el cinco esté comprendido entre 1.000 y 1.100 (incluidos los valores extremos del intervalo).}$

De nuevo con la corrección de continuidad, y como los extremos están incluidos, el intervalo continuo se ensancha medio punto por cada lado.

$P(1000\leq X\leq 1100)\approx P(999{,}5<X'<1100{,}5)$

$=P\left(\dfrac{999{,}5-1000}{28{,}87}<Z<\dfrac{1100{,}5-1000}{28{,}87}\right)=P(-0{,}02<Z<3{,}48)$

$=\Phi(3{,}48)-\Phi(-0{,}02)=\Phi(3{,}48)-\left(1-\Phi(0{,}02)\right)$

$=0{,}9997-(1-0{,}5080)=0{,}9997-0{,}4920=0{,}5077$

La probabilidad de que el cinco salga entre $1000$ y $1100$ veces, ambos incluidos, es $0{,}5077$, es decir, un $50{,}77\%$.



$\textbf{c) [0,7 puntos] Si se lanza dos veces este dado cargado, ¿cuál es la probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtenga un número impar?}$

Se llama $p$ a la probabilidad de obtener un número par con el dado cargado. El enunciado dice que la de impar es el triple, y entre las dos han de sumar la unidad, porque todo número es par o impar.

$P(\text{par})=p,\qquad P(\text{impar})=3p$

$p+3p=1\ \Rightarrow\ 4p=1\ \Rightarrow\ p=\dfrac{1}{4}$

$P(\text{impar})=3\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

Los dos lanzamientos son independientes, de modo que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(\text{impar y impar})=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{16}$

La probabilidad de obtener un número impar en los dos lanzamientos es $\frac{9}{16}=0{,}5625$, es decir, un $56{,}25\%$.