Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 5
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2
APARTADO 5.1 [2,5 puntos]
En un determinado mes el tiempo diario de conexión a una determinada aplicación de inteligencia artificial del alumnado de una cierta universidad sigue una distribución normal de media 210 minutos y de varianza 144 $\text{minutos}^2$.

a) [1 punto] Obtén el intervalo característico para el 80 %.
b) [0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día sea superior a 228 minutos?
c) [0,8 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día esté entre 200 y 210 minutos?
d) [0,4 puntos] Seleccionada una muestra aleatoria simple de tamaño 30, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio diario de conexión a la aplicación de inteligencia artificial sea inferior a 207 minutos?

Se llama $X$ al tiempo diario de conexión, en minutos. De la varianza se obtiene la desviación típica, que es el dato que se usa al tipificar.

$\sigma^2=144\ \text{minutos}^2\ \Rightarrow\ \sigma=\sqrt{144}=12\ \text{minutos}$

$X\sim N(210,\;12)$

$\textbf{a) [1 punto] Obtén el intervalo característico para el 80 \%.}$

El intervalo característico para el $80\%$ es el centrado en la media que deja fuera un $20\%$ repartido a partes iguales entre las dos colas.

$1-\alpha=0{,}80\ \Rightarrow\ \alpha=0{,}20\ \Rightarrow\ \dfrac{\alpha}{2}=0{,}10$

$\Phi\!\left(z_{\alpha/2}\right)=1-0{,}10=0{,}90$

En la tabla, el valor más próximo a $0{,}90$ es $\Phi(1{,}28)=0{,}8997$, de modo que se toma $z_{\alpha/2}=1{,}28$.

$\left(\mu-z_{\alpha/2}\,\sigma,\ \mu+z_{\alpha/2}\,\sigma\right)=(210-1{,}28\cdot 12,\ 210+1{,}28\cdot 12)$

$1{,}28\cdot 12=15{,}36$

$(210-15{,}36,\ 210+15{,}36)=(194{,}64;\ 225{,}36)$

El intervalo característico para el $80\%$ es $(194{,}64;\ 225{,}36)$ minutos.



$\textbf{b) [0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día sea superior a 228 minutos?}$

Se tipifica y se pasa al complementario, porque la tabla da áreas acumuladas por la izquierda.

$Z=\dfrac{X-210}{12}\sim N(0,1)$

$P(X>228)=P\left(Z>\dfrac{228-210}{12}\right)=P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)$

$=1-0{,}9332=0{,}0668$

La probabilidad de que el tiempo de conexión de un día sea superior a $228$ minutos es $0{,}0668$, es decir, un $6{,}68\%$.

$\textbf{c) [0,8 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día esté entre 200 y 210 minutos?}$

El extremo derecho del intervalo es la propia media, que al tipificar se convierte en cero.

$P(200<X<210)=P\left(\dfrac{200-210}{12}<Z<\dfrac{210-210}{12}\right)=P(-0{,}83<Z<0)$

$=\Phi(0)-\Phi(-0{,}83)=0{,}5-\left(1-\Phi(0{,}83)\right)$

$=0{,}5-(1-0{,}7967)=0{,}5-0{,}2033=0{,}2967$

La probabilidad de que el tiempo de conexión de un día esté entre $200$ y $210$ minutos es $0{,}2967$, es decir, un $29{,}67\%$.



$\textbf{d) [0,4 puntos] Seleccionada una muestra aleatoria simple de tamaño 30, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio diario de conexión a la aplicación de inteligencia artificial sea inferior a 207 minutos?}$

Ahora la variable no es el tiempo de un día suelto, sino la media de una muestra de treinta días, que se distribuye también normalmente pero con la desviación típica dividida por la raíz del tamaño muestral.

$\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=N\!\left(210,\ \dfrac{12}{\sqrt{30}}\right)$

$\dfrac{12}{\sqrt{30}}\approx 2{,}1909$

$P(\overline{X}<207)=P\left(Z<\dfrac{207-210}{2{,}1909}\right)=P(Z<-1{,}37)$

$=1-\Phi(1{,}37)=1-0{,}9147=0{,}0853$

La probabilidad de que el tiempo medio diario de conexión de una muestra de $30$ días sea inferior a $207$ minutos es $0{,}0853$, es decir, un $8{,}53\%$.