Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 4
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2
APARTADO 4.2 [2,5 puntos]
En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas numeradas del 000 al 999.

a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 5.
b) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 55.
c) [0,4 puntos] Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcular la probabilidad de que el número premiado hoy también termine en 5.
d) [0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el número premiado sea capicúa?
e) [0,8 puntos] Entre las papeletas numeradas, encuentra aquella cuyo número cumple la siguiente condición: si sumamos dicho número y 25 veces su inverso la suma que se obtiene es la mínima.

Las papeletas van del $000$ al $999$, de modo que hay mil papeletas y todas tienen la misma probabilidad de salir premiadas. Se trabaja entonces con la regla de Laplace.

$\text{Casos posibles}=1000$

$\textbf{a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 5.}$

Si la última cifra ha de ser un $5$, las dos primeras quedan libres y pueden tomar cualquiera de los diez valores del $0$ al $9$.

$\text{Casos favorables}=10\cdot 10\cdot 1=100$

$P=\dfrac{100}{1000}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

La probabilidad de que el número premiado termine en $5$ es $0{,}1$, es decir, un $10\%$.

$\textbf{b) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 55.}$

Ahora quedan fijadas las dos últimas cifras y solo la primera es libre.

$\text{Casos favorables}=10\cdot 1\cdot 1=10$

$P=\dfrac{10}{1000}=\dfrac{1}{100}=0{,}01$

La probabilidad de que el número premiado termine en $55$ es $0{,}01$, es decir, un $1\%$.

$\textbf{c) [0,4 puntos] Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcular la probabilidad de que el número premiado hoy también termine en 5.}$

El sorteo se repite cada día con las mil papeletas completas, así que lo ocurrido ayer no altera lo que pueda ocurrir hoy: los dos sucesos son independientes.

$P(\text{hoy termina en }5\mid \text{ayer terminó en }5)=P(\text{hoy termina en }5)=0{,}1$

La probabilidad es la misma que la del apartado (a), $0{,}1$, es decir, un $10\%$.

$\textbf{d) [0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el número premiado sea capicúa?}$

Un número de tres cifras es capicúa cuando se lee igual en los dos sentidos, es decir, cuando la primera cifra y la última coinciden.

$\overline{aba}\ \text{con}\ a\in\{0,\dots,9\},\ b\in\{0,\dots,9\}$

$\text{Casos favorables}=10\cdot 10=100$

$P=\dfrac{100}{1000}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

La probabilidad de que el número premiado sea capicúa es $0{,}1$, es decir, un $10\%$.

$\textbf{e) [0,8 puntos] Entre las papeletas numeradas, encuentra aquella cuyo número cumple la siguiente condición: si sumamos dicho número y 25 veces su inverso la suma que se obtiene es la mínima.}$

Se plantea la función que hay que minimizar, llamando $x$ al número de la papeleta. Su inverso es $1/x$, de modo que la papeleta $000$ queda fuera del estudio porque el cero no tiene inverso.

$S(x)=x+\dfrac{25}{x},\qquad x\in\{1,2,\dots,999\}$

Se deriva y se anula la derivada, tratando $x$ como variable continua positiva.

$S'(x)=1-\dfrac{25}{x^2}=\dfrac{x^2-25}{x^2}$

$S'(x)=0\ \Rightarrow\ x^2=25\ \Rightarrow\ x=\pm 5$

Se descarta la solución negativa porque las papeletas están numeradas con números no negativos. Se confirma que es un mínimo con la segunda derivada.

$S''(x)=\dfrac{50}{x^3}\ \Rightarrow\ S''(5)=\dfrac{50}{125}=0{,}4>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo}$

$S(5)=5+\dfrac{25}{5}=5+5=10$

Como $x=5$ ya es un número entero, corresponde exactamente a una de las papeletas del sorteo.

La papeleta buscada es la $005$, y la suma mínima que se obtiene con ella vale $10$.