Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.1 [2,5 puntos]
Se ha observado que las ganancias/pérdidas obtenidas en un juego determinado están relacionadas con el tiempo invertido en el mismo, y que se expresan a través de la siguiente función:
$G(t)=\dfrac{100\,t}{t^2+400}$
donde $t$ es el tiempo transcurrido (en minutos) y $G(t)$ son las ganancias/pérdidas (en miles de euros).

a) [1 punto] Calcula cuánto tiempo hay que estar jugando para ganar lo máximo posible y cuál es dicha cantidad máxima.
b) [0,4 puntos] Cuanto más tiempo se dedica a jugar, ¿más dinero se gana? Razona la respuesta.
c) [0,4 puntos] ¿Puede llegarse a perder dinero en caso de jugar mucho tiempo? Razona la respuesta.
d) [0,7 puntos] ¿Cuál es la tendencia de la evolución de las ganancias/pérdidas? ¿La relacionas con alguna característica de la función?

El tiempo de juego solo puede ser positivo, de modo que se trabaja en el dominio $t>0$. Se deriva la función por la regla del cociente, porque es la herramienta de los dos primeros apartados.

$G'(t)=\dfrac{100\left(t^2+400\right)-100t\cdot 2t}{\left(t^2+400\right)^2}=\dfrac{100t^2+40\,000-200t^2}{\left(t^2+400\right)^2}$

$G'(t)=\dfrac{40\,000-100t^2}{\left(t^2+400\right)^2}$

$\textbf{a) [1 punto] Calcula cuánto tiempo hay que estar jugando para ganar lo máximo posible y cuál es dicha cantidad máxima.}$

Se buscan los puntos que anulan la derivada. Como el denominador nunca se anula, basta con el numerador.

$40\,000-100t^2=0\ \Rightarrow\ t^2=400\ \Rightarrow\ t=\pm 20$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio del problema, ya que el tiempo de juego no puede ser negativo. Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro de $t=20$.

$\begin{cases} G'(10)=\dfrac{40\,000-10\,000}{\left(500\right)^2}>0 \\ G'(30)=\dfrac{40\,000-90\,000}{\left(1300\right)^2}<0 \end{cases}\ \Rightarrow\ \text{máximo en }t=20$

$G(20)=\dfrac{100\cdot 20}{20^2+400}=\dfrac{2000}{800}=2{,}5$



Hay que estar jugando $20$ minutos para ganar lo máximo posible, y esa ganancia máxima es de $2{,}5$ miles de euros, es decir, $2500$ euros.

$\textbf{b) [0,4 puntos] Cuanto más tiempo se dedica a jugar, ¿más dinero se gana? Razona la respuesta.}$

El estudio de signos del apartado anterior responde a la pregunta: la derivada es positiva antes de los veinte minutos y negativa después.

$\begin{array}{c|cc} & (0,20) & (20,+\infty) \\ \hline G'(t) & + & - \\ G(t) & \nearrow & \searrow \end{array}$

No: solo se gana más cuanto más se juega durante los primeros $20$ minutos. A partir de ese instante la ganancia empieza a disminuir, por mucho que se siga jugando.

$\textbf{c) [0,4 puntos] ¿Puede llegarse a perder dinero en caso de jugar mucho tiempo? Razona la respuesta.}$

Perder dinero significaría que la función tomase valores negativos. Basta razonar sobre el signo de la expresión.

$G(t)=\dfrac{100t}{t^2+400}\ \text{con}\ t>0$

El numerador es positivo porque $t>0$, y el denominador también, porque es una suma de un cuadrado y un número positivo. Por tanto, el cociente es siempre positivo.

$G(t)>0\ \text{para todo}\ t>0$

No se puede llegar a perder dinero por mucho que se juegue: la ganancia disminuye, pero nunca llega a ser negativa.

$\textbf{d) [0,7 puntos] ¿Cuál es la tendencia de la evolución de las ganancias/pérdidas? ¿La relacionas con alguna característica de la función?}$

La tendencia a largo plazo se estudia con el límite en el infinito. Se trata de un cociente de polinomios en el que el denominador tiene mayor grado que el numerador.

$\lim_{t\to+\infty}G(t)=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{100t}{t^2+400}=0$

Ese límite es precisamente la definición de asíntota horizontal.

$y=0\ \text{es asíntota horizontal de }G(t)$

La tendencia es que las ganancias se vayan reduciendo hasta acercarse a cero sin llegar a serlo nunca, y sin pasar a pérdidas. La característica de la función que lo explica es la asíntota horizontal $y=0$, que es el propio eje de abscisas.