Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.2 [2,5 puntos]
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
$\begin{cases} 3x-2y-2z=3\\ x-z=1\\ 2y-z=0\end{cases}$

a) [0,4 puntos] Exprésalo a través de una ecuación matricial.
b) [0,8 puntos] ¿La matriz de los coeficientes posee inversa? Razona tu respuesta.
c) [1,3 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones lineales.

$\textbf{a) [0,4 puntos] Exprésalo a través de una ecuación matricial.}$

Todo sistema lineal se escribe como el producto de la matriz de coeficientes por la matriz columna de las incógnitas, igualado a la matriz columna de los términos independientes. Hay que cuidar de escribir un cero en cada incógnita que falte en una ecuación.

$A\cdot X=B$

$\begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) [0,8 puntos] ¿La matriz de los coeficientes posee inversa? Razona tu respuesta.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula por la regla de Sarrus.

$|A|=\begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}$

$|A|=\left[3\cdot 0\cdot(-1)+(-2)(-1)\cdot 0+(-2)\cdot 1\cdot 2\right]-\left[(-2)\cdot 0\cdot 0+3\cdot(-1)\cdot 2+(-2)\cdot 1\cdot(-1)\right]$

$|A|=(0+0-4)-(0-6+2)=-4-(-4)=0$

La matriz de los coeficientes no posee inversa, porque su determinante es nulo.

$\textbf{c) [1,3 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones lineales.}$

Al ser $|A|=0$ no se puede despejar $X=A^{-1}B$, de modo que se discute el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Primero se busca el rango de la matriz de coeficientes.

$\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=0+2=2\neq 0\ \Rightarrow\ \text{rg}(A)=2$

Se orla ese menor con la columna de términos independientes para hallar el rango de la matriz ampliada.

$\begin{vmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix}=(0+0+6)-(0+6+0)=0\ \Rightarrow\ \text{rg}(A|B)=2$

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Se prescinde de la primera ecuación, que es la que queda fuera del menor elegido, y se toma $z$ como parámetro.

$\begin{cases} x-z=1 \\ 2y-z=0 \end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} x=1+z \\ y=\dfrac{z}{2} \end{cases}$

Para que la solución quede sin denominadores se llama $z=2\lambda$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.

$\begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=2\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Se comprueba en la ecuación descartada:

$3(1+2\lambda)-2\lambda-2\cdot 2\lambda=3+6\lambda-2\lambda-4\lambda=3$

El sistema tiene infinitas soluciones, que son las ternas de la forma $(1+2\lambda,\ \lambda,\ 2\lambda)$ con $\lambda$ real.