Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.1 [2,5 puntos]
El cajero automático de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero automático nos ha entregado exactamente 8 billetes. Además, el número de billetes de 10 euros es el doble que el de 20 euros.

a) [1 punto] Plantea el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero automático.
b) [1,5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones lineales.

$\textbf{a) [1 punto] Plantea el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero automático.}$

Se llama a cada incógnita por el número de billetes de cada valor.

$x=\,\text{billetes de }10\ \text{euros},\quad y=\,\text{billetes de }20\ \text{euros},\quad z=\,\text{billetes de }50\ \text{euros}$

Las tres condiciones del enunciado son la cantidad total de dinero, el número total de billetes y la relación entre los billetes de $10$ y los de $20$ euros.

$\begin{cases} 10x+20y+50z=290 \\ x+y+z=8 \\ x=2y \end{cases}$

La primera ecuación se simplifica dividiendo entre $10$, y la tercera se ordena pasando todo al primer miembro.

$\begin{cases} x+2y+5z=29 \\ x+y+z=8 \\ x-2y=0 \end{cases}$

$\textbf{b) [1,5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones lineales.}$

Como la tercera ecuación ya da $x$ en función de $y$, lo más rápido es el método de sustitución.

$x=2y$

$2y+y+z=8\ \Rightarrow\ 3y+z=8\ \Rightarrow\ z=8-3y$

$2y+2y+5(8-3y)=29\ \Rightarrow\ 4y+40-15y=29$

$-11y=-11\ \Rightarrow\ y=1$

Se deshacen las sustituciones:

$x=2\cdot 1=2\qquad ;\qquad z=8-3\cdot 1=5$

Se comprueba la solución en las tres condiciones de partida:

$\begin{cases} 10\cdot 2+20\cdot 1+50\cdot 5=20+20+250=290\ \text{euros} \\ 2+1+5=8\ \text{billetes} \\ 2=2\cdot 1 \end{cases}$

El cajero ha entregado $2$ billetes de $10$ euros, $1$ billete de $20$ euros y $5$ billetes de $50$ euros.