Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 1 [2,5 puntos]
La creación de una nueva fragancia requiere paciencia, una buena nariz y el conocimiento especial de la proporción justa de esencias de plantas y disolventes, como el alcohol etílico o el agua.
La elaboración empieza con la disolución del alcohol con un poco de agua. Después se agrega el deseado aceite esencial a base de extractos de flores y se mezcla todo para que macere. El alcohol etílico es el componente principal de los perfumes en cuanto a concentración. Es la sustancia que diluye el concentrado del perfume para que pueda aplicarse sobre la piel.
Una empresa fabrica dos tipos de perfume: A y B. El perfume A contiene un 5 % de extracto de rosas y un 10 % de alcohol por litro, mientras que un litro del perfume B se fabrica con un 10 % de extracto de rosas y un 15 % de alcohol.
A mayor porcentaje de alcohol en la mezcla con los extractos de rosas, más volátil es la fragancia, menos fijación tiene y menor es su intensidad, siendo, por tanto, de una menor calidad. Así, el precio de venta del perfume A es de 24 €/ L y el del perfume B es de 40 €/ L.
La empresa quiere organizar la producción de forma óptima a partir de su disponibilidad de materia prima, que en un mes cualquiera es de 70 litros de extracto de rosas y de 120 litros de alcohol.

a) [2 puntos] ¿Cuántos litros de cada perfume convendría fabricar para que el ingreso por la venta de la producción sea máximo?
b) [0,5 puntos] ¿Cuál sería dicho ingreso?

Se nombran las variables de decisión y se traducen a litros los porcentajes de cada componente, que es lo que permite escribir las restricciones.

$x=\,\text{litros de perfume }A,\qquad y=\,\text{litros de perfume }B$

$$	$\text{Extracto de rosas}$	$\text{Alcohol}$	$\text{Precio}$ Perfume $A$	5 %	10 %	24 €/L Perfume $B$	10 %	15 %	40 €/L Disponible	70 L	120 L	$$

$\textbf{a) [2 puntos] ¿Cuántos litros de cada perfume convendría fabricar para que el ingreso por la venta de la producción sea máximo?}$

La función objetivo es el ingreso por la venta de toda la producción, y las restricciones son las dos materias primas disponibles más la no negatividad de las variables.

$f(x,y)=24x+40y$

$\begin{cases} 0{,}05x+0{,}10y\leq 70 \\ 0{,}10x+0{,}15y\leq 120 \\ x\geq 0,\ y\geq 0 \end{cases}$

Se multiplican las dos primeras por $100$ y se simplifican:

$\begin{cases} 5x+10y\leq 7000 \\ 10x+15y\leq 12\,000 \end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} x+2y\leq 1400 \\ 2x+3y\leq 2400 \end{cases}$

El origen cumple las dos desigualdades, así que la región factible queda por debajo de las dos rectas dentro del primer cuadrante. Los vértices sobre los ejes son $O(0,0)$, $A(1200,0)$ —manda la restricción del alcohol, más exigente que la de las rosas— y $C(0,700)$ —aquí manda la de las rosas—. El cuarto se obtiene cortando las dos rectas.

$\begin{cases} x+2y=1400 \\ 2x+3y=2400 \end{cases}\ \Rightarrow\ x=1400-2y$

$2(1400-2y)+3y=2400\ \Rightarrow\ 2800-y=2400\ \Rightarrow\ y=400$

$x=1400-2\cdot 400=600\ \Rightarrow\ B(600,400)$



Por el teorema fundamental de la programación lineal se evalúa la función objetivo en los cuatro vértices.

$\begin{cases} f(0,0)=0 \\ f(1200,0)=24\cdot 1200=28\,800 \\ f(600,400)=24\cdot 600+40\cdot 400=14\,400+16\,000=30\,400 \\ f(0,700)=40\cdot 700=28\,000 \end{cases}$

Convendría fabricar $600$ litros del perfume $A$ y $400$ litros del perfume $B$.

$\textbf{b) [0,5 puntos] ¿Cuál sería dicho ingreso?}$

El ingreso máximo es el valor que toma la función objetivo en el vértice óptimo.

$f(600,400)=24\cdot 600+40\cdot 400=30\,400$

El ingreso por la venta de esa producción sería de $30\,400$ euros.