Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · País Vasco · 2026

Problema, BLOQUE D: Física nuclear y de partículas
Este bloque consta de 2 problemas. Debes responder solo a uno.
D2.- Diez gramos de unos restos óseos contienen actualmente $9{.}5\times 10^{8}$ átomos de carbono-14 por gramo. Se sabe que, en el momento de la muerte del animal del que proceden esos huesos, la proporción isotópica era la del carbono atmosférico, es decir, había $6{.}9\times 10^{9}$ átomos de C-14 por gramo.

a) (1.00 punto)
1. Escribe la expresión para la ley de desintegración exponencial radiactiva y explica el significado físico de cada magnitud. (0.25 puntos)
2. Haz una representación gráfica cualitativa de la ley; esto es, dibuja la curva e indica en la figura las magnitudes y sus correspondientes unidades. (0.25 puntos)
3. Deduce la relación entre la constante de desintegración $\lambda$ y el periodo de semidesintegración $t_{1/2}$. (0.25 puntos)
4. Calcula la constante de desintegración $\lambda$ del C-14, sabiendo que $t_{1/2}$(C-14)=$5730\ \text{años}$. (0.25 puntos)
b) (0.50 puntos)
1. Calcula el número total de átomos de C-14 que contiene actualmente la muestra de 10g. (0.25 puntos)
2. Calcula el número total de átomos de C-14 que contenía la misma muestra en el momento de la muerte. (0.25 puntos)
c) Estima la antigüedad de los restos óseos. (1.00 punto)
1. Plantea la ecuación de desintegración con los datos del problema. (0.25 puntos)
2. Resuelve simbólicamente para obtener la expresión del tiempo $t$. (0.50 puntos)
3. Calcula el resultado numérico, y exprésalo en años. (0.25 puntos)

$\textbf{a) (1.00 punto)}$

$\textbf{a.1) Escribe la expresión para la ley de desintegración exponencial radiactiva y explica el significado físico de cada magnitud. (0.25 puntos)}$

La desintegración radiactiva es un proceso aleatorio en el que la probabilidad de que un núcleo se desintegre en un intervalo dado es la misma para todos e independiente del tiempo que lleve existiendo. De ahí que el número de desintegraciones por unidad de tiempo sea proporcional al número de núcleos presentes, y que al integrar esa proporcionalidad aparezca una exponencial:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

donde $N_0$ es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial; $N$ es el número de núcleos que quedan sin desintegrar al cabo de un tiempo $t$; y $\lambda$ es la constante de desintegración, característica de cada isótopo, que mide la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo y se expresa en $\text{s}^{-1}$ o, como aquí, en $\text{años}^{-1}$.

$\textbf{a.2) Haz una representación gráfica cualitativa de la ley; esto es, dibuja la curva e indica en la figura las magnitudes y sus correspondientes unidades. (0.25 puntos)}$

La curva es una exponencial decreciente que parte de $N_0$ y tiende asintóticamente a cero sin llegar a alcanzarlo nunca. Su rasgo característico es que en cada periodo de semidesintegración el número de núcleos se reduce a la mitad, independientemente del punto de partida.



$\textbf{a.3) Deduce la relación entre la constante de desintegración } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ y el periodo de semidesintegración } \boldsymbol{t_{1/2}}\textbf{. (0.25 puntos)}$

El periodo de semidesintegración es, por definición, el tiempo que tarda una muestra en reducirse a la mitad. Se impone esa condición en la ley de desintegración:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda\,t_{1/2}}$

$\dfrac12=e^{-\lambda\,t_{1/2}}\Rightarrow \ln\dfrac12=-\lambda\,t_{1/2}$

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$

La constante de desintegración y el periodo de semidesintegración son, por tanto, inversamente proporcionales: cuanto más inestable es el isótopo, mayor es $\lambda$ y más corta su vida.

$\textbf{a.4) Calcula la constante de desintegración } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ del C-14, sabiendo que } \boldsymbol{t_{1/2}(\text{C-14})=5730\ \text{años}}\textbf{. (0.25 puntos)}$

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{5730}=1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

La constante de desintegración del carbono-14 es de $1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$.

$\textbf{b) (0.50 puntos)}$

$\textbf{b.1) Calcula el número total de átomos de C-14 que contiene actualmente la muestra de 10 g. (0.25 puntos)}$

El dato del enunciado está expresado por gramo, así que basta multiplicar por la masa de la muestra.

$N=9{,}5\cdot10^{8}\cdot10=9{,}5\cdot10^{9}\ \text{átomos}$

Los restos contienen hoy $9{,}5\cdot10^{9}$ átomos de carbono-14.

$\textbf{b.2) Calcula el número total de átomos de C-14 que contenía la misma muestra en el momento de la muerte. (0.25 puntos)}$

Mientras el animal vivía, intercambiaba carbono con la atmósfera y mantenía en sus tejidos la proporción isotópica atmosférica. Al morir cesó ese intercambio y el C-14 empezó a desintegrarse sin reponerse.

$N_0=6{,}9\cdot10^{9}\cdot10=6{,}9\cdot10^{10}\ \text{átomos}$

En el momento de la muerte la muestra contenía $6{,}9\cdot10^{10}$ átomos de carbono-14.

$\textbf{c) Estima la antigüedad de los restos óseos. (1.00 punto)}$

$\textbf{c.1) Plantea la ecuación de desintegración con los datos del problema. (0.25 puntos)}$

$9{,}5\cdot10^{9}=6{,}9\cdot10^{10}\,e^{-1{,}21\cdot10^{-4}\,t}$

$\textbf{c.2) Resuelve simbólicamente para obtener la expresión del tiempo } \boldsymbol{t}\textbf{. (0.50 puntos)}$

Se despeja la exponencial y se toman logaritmos neperianos en los dos miembros.

$\dfrac{N}{N_0}=e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln\dfrac{N}{N_0}=-\lambda t$

$t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_0}{N}=\dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\dfrac{N_0}{N}$

$\textbf{c.3) Calcula el resultado numérico, y exprésalo en años. (0.25 puntos)}$

$\dfrac{N_0}{N}=\dfrac{6{,}9\cdot10^{10}}{9{,}5\cdot10^{9}}=7{,}26$

$t=\dfrac{1}{1{,}21\cdot10^{-4}}\ln 7{,}26=\dfrac{1{,}983}{1{,}21\cdot10^{-4}}=1{,}64\cdot10^{4}\ \text{años}$

Los restos óseos tienen una antigüedad aproximada de $1{,}64\cdot10^{4}$ años, unos $16\,400$ años. El resultado es coherente con el orden de magnitud del método: han transcurrido algo menos de tres periodos de semidesintegración, que es el rango en el que la datación por carbono-14 sigue siendo fiable.