Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Problema, BLOQUE D: Física Nuclear y de Partículas
D2.- Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda $\lambda_1=200\,nm$, el potencial de frenado de los fotoelectrones es de $2\,V$, mientras que si la longitud de onda es un 20% mayor, el potencial de frenado se reduce a $1\,V$.
Obtén, razonadamente:

1. el valor que resulta para la constante de Planck, $h$, en esta experiencia,
2. el trabajo de extracción del metal.

Datos:
$c=3\cdot 10^8\,ms^{-1}$
$q_e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,C$

La experiencia consiste en medir el potencial de frenado para dos luces distintas. Cada medida da una ecuación de Einstein, y el trabajo de extracción es el mismo en las dos porque el metal no cambia. La energía cinética máxima se obtiene del potencial de frenado, que es la diferencia de potencial capaz de detener a los electrones más rápidos:

$E_{c,max}=e\,V_0\Rightarrow e\,V_0=\dfrac{h\,c}{\lambda}-W_0$

La segunda longitud de onda es un veinte por ciento mayor que la primera:

$\lambda_2=1{,}2\,\lambda_1=1{,}2\cdot200=240\ \text{nm}$

$\textbf{1. El valor que resulta para la constante de Planck, } \boldsymbol{h}\textbf{, en esta experiencia.}$

Se escriben las dos ecuaciones y se restan; el trabajo de extracción, que es común, desaparece y deja despejable la constante de Planck.

$e\,V_1=\dfrac{h\,c}{\lambda_1}-W_0\ ;\qquad e\,V_2=\dfrac{h\,c}{\lambda_2}-W_0$

$e\left(V_1-V_2\right)=h\,c\left(\dfrac{1}{\lambda_1}-\dfrac{1}{\lambda_2}\right)$

$h=\dfrac{e\left(V_1-V_2\right)}{c\left(\dfrac{1}{\lambda_1}-\dfrac{1}{\lambda_2}\right)}$

$\dfrac{1}{\lambda_1}-\dfrac{1}{\lambda_2}=\dfrac{1}{200\cdot10^{-9}}-\dfrac{1}{240\cdot10^{-9}}=8{,}33\cdot10^{5}\ \text{m}^{-1}$

$h=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot\left(2-1\right)}{3\cdot10^{8}\cdot8{,}33\cdot10^{5}}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}}{2{,}5\cdot10^{14}}$

$h=6{,}4\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$

La experiencia da para la constante de Planck un valor de $6{,}4\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, que se aparta menos de un cuatro por ciento del valor aceptado, $6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. Es un resultado razonable para una medida hecha con solo dos puntos, y reproduce el procedimiento con el que Millikan determinó experimentalmente esta constante.

$\textbf{2. El trabajo de extracción del metal.}$

Con la constante ya conocida, se despeja el trabajo de extracción de cualquiera de las dos ecuaciones. Usando la primera:

$W_0=\dfrac{h\,c}{\lambda_1}-e\,V_1=\dfrac{6{,}4\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{200\cdot10^{-9}}-1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2$

$W_0=9{,}6\cdot10^{-19}-3{,}2\cdot10^{-19}=6{,}4\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W_0=\dfrac{6{,}4\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=4{,}0\ \text{eV}$

El trabajo de extracción del metal es de $6{,}4\cdot10^{-19}\ \text{J}$, es decir, $4{,}0\ \text{eV}$. La segunda medida sirve de comprobación: con ella se obtiene $W_0=h\,c/\lambda_2-e\,V_2=8{,}0\cdot10^{-19}-1{,}6\cdot10^{-19}=6{,}4\cdot10^{-19}\ \text{J}$, el mismo valor, como debe ser al tratarse del mismo metal.