Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Problema, BLOQUE D: Física Nuclear y de Partículas
D1.- Un haz de luz de $400\,nm$ incide sobre un fotocátodo de cerio, cuyo trabajo de extracción es de $1{,}8\,eV$. Calcula:

1. La energía cinética máxima de los fotoelectrones.
2. La frecuencia umbral.
3. Razona cómo cambiarían los resultados anteriores si la radiación es ahora de $800\,nm$.

Datos:
$c=3\cdot 10^8\,ms^{-1}$,
$h=6{,}63\cdot 10^{-34}\,J\cdot s$
$q_e=1{,}6\cdot 10^{-19}\,C$

$\textbf{1. La energía cinética máxima de los fotoelectrones.}$

Se aplica la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, según la cual la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón emitido. Primero se calcula la energía del fotón incidente y se pasa el trabajo de extracción a julios.

$E=\dfrac{h\,c}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{400\cdot10^{-9}}=4{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W_0=1{,}8\ \text{eV}=1{,}8\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=2{,}88\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$E_{c,max}=\dfrac{h\,c}{\lambda}-W_0=4{,}97\cdot10^{-19}-2{,}88\cdot10^{-19}=2{,}09\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La energía cinética máxima de los fotoelectrones es de $2{,}09\cdot10^{-19}\ \text{J}$, equivalentes a $1{,}31\ \text{eV}$. Se dice máxima porque corresponde a los electrones superficiales, los menos ligados; los que proceden de capas más internas salen con menos energía.

$\textbf{2. La frecuencia umbral.}$

La frecuencia umbral es la mínima capaz de arrancar electrones, aquella para la que el fotón tiene exactamente la energía del trabajo de extracción y no sobra nada para energía cinética.

$h\,\nu_{um}=W_0\Rightarrow\nu_{um}=\dfrac{W_0}{h}=\dfrac{2{,}88\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}}$

$\nu_{um}=4{,}34\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

La frecuencia umbral del cerio es $4{,}34\cdot10^{14}\ \text{Hz}$, que corresponde a una longitud de onda umbral de $\lambda_{um}=c/\nu_{um}=691\ \text{nm}$, en el rojo.

$\textbf{3. Razona cómo cambiarían los resultados anteriores si la radiación es ahora de } \boldsymbol{800\ \text{nm}}\textbf{.}$

La frecuencia umbral no cambiaría: depende únicamente del trabajo de extracción, que es una propiedad del metal, y no de la luz con que se le ilumine. Seguiría valiendo $4{,}34\cdot10^{14}\ \text{Hz}$.

Lo que sí cambia es la energía de cada fotón, porque es inversamente proporcional a la longitud de onda:

$E'=\dfrac{h\,c}{\lambda'}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{800\cdot10^{-9}}=2{,}49\cdot10^{-19}\ \text{J}=1{,}55\ \text{eV}$

$E'=1{,}55\ \text{eV}<W_0=1{,}8\ \text{eV}$

Ahora el fotón no tiene energía suficiente para arrancar el electrón, de modo que no hay emisión fotoeléctrica y no cabe hablar de energía cinética máxima. Se llega a lo mismo comparando frecuencias: $\nu'=c/\lambda'=3{,}75\cdot10^{14}\ \text{Hz}$, menor que la umbral.

Al duplicar la longitud de onda el efecto fotoeléctrico desaparece. Conviene subrayar que aumentar la intensidad de esa luz roja no serviría de nada: llegarían más fotones, pero cada uno seguiría siendo individualmente incapaz de arrancar un electrón. Esta es precisamente la observación que la física clásica no podía explicar y que Einstein resolvió con la hipótesis de los cuantos de luz.