Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Problema, BLOQUE A: Campo Gravitatorio (Consta de 1 problema)
A1.- Como parte de una jornada de puertas abiertas organizada por SENER Aeroespacial para inspirar a futuras generaciones de físicos y físicas, así como ingenieros e ingenieras, has tenido la oportunidad de participar en un proyecto real. SENER, en colaboración con el Gobierno Vasco y el Parque Tecnológico de Álava, está desarrollando una nueva generación de satélites para monitorizar el cambio climático, y mejorar la gestión de recursos en Euskadi.
Durante tu visita, te asignan un problema crucial: uno de los satélites en desarrollo, con una masa de $400\,kg$, se encuentra en una órbita circular a una altura ($h$) sobre la superficie terrestre. El equipo de SENER ha determinado que la gravedad a esa altura es un tercio de la gravedad en la superficie terrestre. Utilizando tus conocimientos de física, debes ayudar a resolver lo siguiente:

1. Explica detalladamente si se requiere realizar trabajo para mantener el satélite en su órbita, y justifica tu respuesta usando principios físicos como la conservación de la energía y el movimiento en un campo gravitatorio.
2. Calcula las características principales de la órbita.
3. Determina la altura ($h$) del satélite sobre la superficie terrestre.
4. Calcula el período de la órbita y la energía mecánica total del satélite.

Al resolver este problema, no solo tendrás la oportunidad de aplicar tus conocimientos de física a un escenario real, sino que también podrás contribuir directamente al desarrollo de una tecnología que tiene implicaciones significativas para el seguimiento del cambio climático y la gestión de recursos en la región. Esta experiencia te brindará una perspectiva única sobre las aplicaciones prácticas de la física y la ingeniería en el campo aeroespacial.

Datos:
$g=9{,}8\,m/s^2$ (aceleración de la gravedad en la superficie terrestre)
$R_T=6{,}4\times 10^6\,m$ (radio de la Tierra)

Conviene empezar escribiendo el producto $G\,M_T$ en función de los datos, porque el enunciado no da ni la constante de gravitación ni la masa de la Tierra, sino la gravedad en la superficie. Igualando el peso de un cuerpo en la superficie con la atracción gravitatoria:

$m\,g=G\dfrac{M_T\,m}{R_T^{2}}\Rightarrow G\,M_T=g\,R_T^{2}=9{,}8\cdot\left(6{,}4\cdot10^{6}\right)^{2}=4{,}01\cdot10^{14}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\text{/kg}$

$\textbf{1. Explica detalladamente si se requiere realizar trabajo para mantener el satélite en su órbita, y justifica tu respuesta usando principios físicos como la conservación de la energía y el movimiento en un campo gravitatorio.}$

No se requiere realizar ningún trabajo. El razonamiento se puede hacer por dos caminos que llevan a lo mismo.

i) Desde la definición de trabajo. La fuerza gravitatoria es una fuerza central, siempre dirigida hacia el centro de la Tierra, mientras que en un movimiento circular la velocidad es tangente a la trayectoria. Fuerza y desplazamiento son perpendiculares en todo instante:

$W=\displaystyle\int \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int F\,dr\cos 90^{\circ}=0$

ii) Desde la energía. El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo es igual a la disminución de la energía potencial. Como la órbita es circular, la distancia al centro de la Tierra no cambia y la energía potencial tampoco:

$E_p=-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=\text{constante}$

Al ser nulo el trabajo, tampoco varía la energía cinética, y por tanto el módulo de la velocidad se mantiene constante: el movimiento es circular uniforme y la energía mecánica se conserva. La órbita es, además, una superficie equipotencial, y mover un cuerpo sobre una equipotencial nunca cuesta trabajo.

Sí hizo falta trabajo, en cambio, para llevar el satélite hasta la órbita desde la superficie; una vez allí, mantenerlo no consume energía. Los motores de un satélite solo se encienden para corregir la órbita frente a perturbaciones, no para sostenerla.

$\textbf{2. Calcula las características principales de la órbita.}$










El dato que fija la órbita es que la gravedad a esa altura sea la tercera parte de la de la superficie. La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro es:

$g(r)=\dfrac{G\,M_T}{r^{2}}=\dfrac{g\,R_T^{2}}{r^{2}}$

$\dfrac{g\,R_T^{2}}{r^{2}}=\dfrac{g}{3}\Rightarrow r^{2}=3\,R_T^{2}$

$r=\sqrt{3}\,R_T=1{,}11\cdot10^{7}\ \text{m}$





Conocido el radio, la velocidad orbital sale de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{v^{2}}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{4{,}01\cdot10^{14}}{1{,}11\cdot10^{7}}}$

$v=6{,}02\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La órbita tiene un radio de $1{,}11\cdot10^{7}\ \text{m}$ medido desde el centro de la Tierra y se recorre a $6{,}02\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, con una aceleración centrípeta de $3{,}27\ \text{m/s}^{2}$, que es justamente la gravedad a esa altura.

$\textbf{3. Determina la altura (}\boldsymbol{h}\textbf{) del satélite sobre la superficie terrestre.}$

El radio calculado se mide desde el centro del planeta; la altura es lo que queda al descontar el radio terrestre.

$h=r-R_T=\sqrt{3}\,R_T-R_T=\left(\sqrt{3}-1\right)R_T$

$h=1{,}11\cdot10^{7}-6{,}4\cdot10^{6}=4{,}69\cdot10^{6}\ \text{m}$

El satélite vuela a $4{,}69\cdot10^{6}\ \text{m}$ de altura, unos $4\,690\ \text{km}$ sobre la superficie.

$\textbf{4. Calcula el período de la órbita y la energía mecánica total del satélite.}$

El periodo es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad orbital.

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot1{,}11\cdot10^{7}}{6{,}02\cdot10^{3}}=1{,}16\cdot10^{4}\ \text{s}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. En una órbita circular la primera es, en valor absoluto, la mitad de la segunda, de modo que la suma se puede escribir de una sola vez:

$E_m=E_c+E_p=\dfrac12\,\dfrac{G\,M_T\,m}{r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

$E_m=-\dfrac{4{,}01\cdot10^{14}\cdot400}{2\cdot1{,}11\cdot10^{7}}=-7{,}24\cdot10^{9}\ \text{J}$

El satélite completa una vuelta cada $1{,}16\cdot10^{4}\ \text{s}$, algo más de tres horas, y su energía mecánica es de $-7{,}24\cdot10^{9}\ \text{J}$. El signo negativo indica que se trata de un estado ligado: haría falta aportar esa misma cantidad de energía para que el satélite escapara del campo gravitatorio terrestre.