Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Problema, BLOQUE D: Física Nuclear y de Partículas
D2.- Al iluminar un metal con luz de longitud de onda en el vacío $\lambda=700\,nm$, se observa que emite electrones con una energía cinética máxima de $0{.}45\,eV$. Se cambia la longitud de onda de la luz incidente y se mide de nuevo la energía cinética máxima, obteniéndose un valor de $1{.}49\,eV$. Calcula:

1. La frecuencia de la luz utilizada en la segunda medida.
2. A partir de qué frecuencia se observará el efecto fotoeléctrico en el metal.

Datos:
$q_e=1{.}6\times 10^{-19}\,C$
$c=3\times 10^8\,m/s$

Las dos preguntas se apoyan en la misma ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, escrita para las dos medidas del enunciado. El trabajo de extracción $W_0$ es una propiedad del metal y no cambia al cambiar la luz incidente, y ese es el hecho que permite relacionarlas:

$h\nu_1=W_0+E_{c1}\ ;\qquad h\nu_2=W_0+E_{c2}$

El cuadernillo no incluye la constante de Planck entre los datos; se emplea el valor $h=6{,}6\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, que es el que el propio examen recoge en el otro problema del bloque.

$\textbf{1. La frecuencia de la luz utilizada en la segunda medida.}$

Se calcula primero la frecuencia de la primera luz y se pasan las energías cinéticas a julios.

$\nu_1=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{700\cdot10^{-9}}=4{,}29\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

$E_{c1}=0{,}45\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=7{,}20\cdot10^{-20}\ \text{J}$

$E_{c2}=1{,}49\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=2{,}38\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Restando las dos ecuaciones de Einstein desaparece el trabajo de extracción, que es lo que permite despejar la segunda frecuencia sin conocerlo:

$h\left(\nu_2-\nu_1\right)=E_{c2}-E_{c1}$

$\nu_2=\nu_1+\dfrac{E_{c2}-E_{c1}}{h}=4{,}29\cdot10^{14}+\dfrac{1{,}66\cdot10^{-19}}{6{,}6\cdot10^{-34}}$

$\nu_2=4{,}29\cdot10^{14}+2{,}52\cdot10^{14}=6{,}81\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

La segunda medida se hizo con luz de $6{,}81\cdot10^{14}\ \text{Hz}$, que corresponde a una longitud de onda de $441\ \text{nm}$: se pasó del rojo al azul, y por eso los electrones salieron más energéticos.

$\textbf{2. A partir de qué frecuencia se observará el efecto fotoeléctrico en el metal.}$

Ahora sí hace falta el trabajo de extracción, que se obtiene de cualquiera de las dos medidas. Usando la primera:

$W_0=h\nu_1-E_{c1}=6{,}6\cdot10^{-34}\cdot4{,}29\cdot10^{14}-7{,}20\cdot10^{-20}$

$W_0=2{,}83\cdot10^{-19}-7{,}20\cdot10^{-20}=2{,}11\cdot10^{-19}\ \text{J}=1{,}32\ \text{eV}$

$\nu_{um}=\dfrac{W_0}{h}=\dfrac{2{,}11\cdot10^{-19}}{6{,}6\cdot10^{-34}}=3{,}19\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Se observará efecto fotoeléctrico a partir de $3{,}19\cdot10^{14}\ \text{Hz}$, es decir, para longitudes de onda menores que $939\ \text{nm}$, ya en el infrarrojo cercano. El resultado es coherente con los datos: las dos luces del enunciado tienen frecuencias mayores que esa y, en efecto, ambas producían emisión.

Las dos preguntas son en realidad dos lecturas de la misma recta $E_{c,max}=h\left(\nu-\nu_{um}\right)$: las medidas son dos de sus puntos, la frecuencia umbral es su corte con el eje de abscisas y la constante de Planck, su pendiente.