Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2025

Problema, BLOQUE C: Vibraciones y Ondas, y Óptica
C2.- Una onda armónica unidimensional, y que se propaga en un medio con una velocidad de $400\,m\,s^{-1}$, está descrita por la siguiente expresión matemática:
$y(x,t)=3\,sen(kx-200\pi t+\phi_0)\,cm$
donde $x$ y $t$ están en $m$ y $s$, respectivamente.
Sabiendo que $y(0,0)=1{.}5\,cm$, y que la velocidad de oscilación en $t=0$ y $x=0$ es positiva, halla:

1. El número de onda $k$ y la fase inicial $\phi_0$.
2. La aceleración máxima de oscilación de un punto genérico del eje $x$.

$\textbf{1. El número de onda } \boldsymbol{k}\textbf{ y la fase inicial } \boldsymbol{\phi_0}\textbf{.}$

Comparando la expresión del enunciado con la forma general de una onda armónica $y=A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\phi_0)$ se identifica la amplitud, $A=3\ \text{cm}$, y la frecuencia angular, $\omega=200\pi\ \text{rad/s}$. El número de onda se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación y esas dos magnitudes:

$v=\dfrac{\omega}{k}\Rightarrow k=\dfrac{\omega}{v}=\dfrac{200\pi}{400}=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad/m}$

$k=1{,}57\ \text{rad/m}\quad\left(\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=4\ \text{m}\right)$

Para la fase inicial se impone la condición sobre la elongación en el origen:

$y(0,0)=3\operatorname{sen}\phi_0=1{,}5\Rightarrow\operatorname{sen}\phi_0=\dfrac12$

$\phi_0=\dfrac{\pi}{6}\ \text{rad}\quad\text{o}\quad \phi_0=\dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}$

Hay dos ángulos del intervalo $[0,2\pi)$ cuyo seno vale un medio, así que la condición sobre la elongación no basta para elegir. Se recurre a la segunda condición, la del signo de la velocidad de oscilación, que se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\cos(kx-\omega t+\phi_0)$

$v_y(0,0)=-3\cdot200\pi\cos\phi_0>0\Rightarrow\cos\phi_0<0$

El coseno es negativo en el segundo cuadrante y positivo en el primero, de modo que se descarta $\pi/6$.

$\phi_0=\dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}$

El número de onda es $\pi/2\ \text{rad/m}$ y la fase inicial, $5\pi/6\ \text{rad}$. La figura muestra las dos candidatas: ambas pasan por $1{,}5\ \text{cm}$ en el instante inicial, pero solo la de $5\pi/6$ lo hace subiendo.



$\textbf{2. La aceleración máxima de oscilación de un punto genérico del eje } \boldsymbol{x}\textbf{.}$

La aceleración de oscilación se obtiene derivando de nuevo respecto del tiempo:

$a_y=\dfrac{\partial v_y}{\partial t}=-A\,\omega^{2}\operatorname{sen}(kx-\omega t+\phi_0)=-\omega^{2}\,y$

Se reconoce la ecuación característica del movimiento armónico simple: la aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario. Su valor máximo se alcanza en los extremos, donde el seno vale $\pm1$, es decir, donde la elongación es la amplitud.

$a_{max}=A\,\omega^{2}=0{,}03\cdot(200\pi)^{2}=0{,}03\cdot3{,}95\cdot10^{5}$

$a_{max}=1{,}18\cdot10^{4}\ \text{m/s}^{2}$

La aceleración máxima de oscilación de cualquier punto del medio es de $1{,}18\cdot10^{4}\ \text{m/s}^{2}$, y se alcanza en los instantes en que el punto pasa por las posiciones de máxima elongación. No debe confundirse con ninguna aceleración del avance de la onda: los puntos del medio solo oscilan perpendicularmente, mientras la perturbación viaja a $400\ \text{m/s}$ constantes.