Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

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A1.- El sistema Galileo, desarrollado por la Agencia Espacial Europea (ESA), es un sistema de navegación por satélite que compite con el GPS estadounidense y el GLONASS ruso. Recientemente, se destacó en los medios locales cómo la participación vasca, a través de empresas como Added Value Solutions (AVS), ha contribuido al diseño y desarrollo de componentes para satélites de este sistema. Estos satélites, que operan a alturas precisas, son cruciales para garantizar la navegación y posicionamiento global con alta precisión.
Como parte de un equipo de diseño que trabaja en misión con la ESA, se te asigna el cálculo de los parámetros de operación para uno de los satélites Galileo, teniendo en cuenta sus características físicas y de órbita. Este ejercicio busca aplicar los conceptos estudiados en clase a una situación real.
Consideremos la siguiente situación:
Un satélite Galileo de masa $m=700\,kg$ se encuentra en una órbita circular a una altura $H$ por encima de la superficie terrestre. Este satélite opera a una velocidad orbital $v$ que garantiza su estabilidad en una órbita media terrestre. Tu tarea es calcular los valores de estos parámetros clave.
Tareas:

1. Indica cómo se puede determinar la altura $H$: Supón que conoces la velocidad orbital $v$ a la que opera el satélite. Indica cómo se puede calcular la altura a la que debe situarse el satélite para mantener una órbita circular estable. Justifica cómo el equilibrio entre las fuerzas involucradas establece esta condición. Asegúrate de explicar los conceptos y las leyes físicas relevantes utilizadas.
2. Calcular la velocidad orbital $v$: Supón que la altura es $H=23222\,km=2{.}3222\times 10^7\,m$ Calcula la velocidad a la que el satélite debe desplazarse para permanecer en órbita circular. Justifica tu resultado utilizando principios de la mecánica orbital.
3. Evaluar la energía total necesaria: Calcula la energía requerida para llevar al satélite a la altura $H$ y mantenerlo en órbita circular. Discute cómo esta energía incluye tanto la energía potencial gravitatoria como la energía cinética.
4. Calcular el periodo orbital ($T$): Determina el tiempo que tarda el satélite Galileo en completar una órbita completa alrededor de la Tierra. Explica el razonamiento físico y las leyes utilizadas para llegar al resultado.

Datos:
$G=6{.}67\times 10^{-11}\,N\,m^2/kg^2$
$M_{Tierra}=5{.}98\times 10^{24}\,kg$
$R_{Tierra}=6370\,km$

Puedes comprobar tus resultados de manera cualitativa utilizando la información de la figura:

$\textbf{1. Indica cómo se puede determinar la altura } \boldsymbol{H}\textbf{: Supón que conoces la velocidad orbital } \boldsymbol{v}\textbf{ a la que opera el satélite. Indica cómo se puede calcular la altura a la que debe situarse el satélite para mantener una órbita circular estable. Justifica cómo el equilibrio entre las fuerzas involucradas establece esta condición.}$










Sobre el satélite actúa una única fuerza apreciable, la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra, dada por la ley de gravitación universal de Newton y dirigida siempre hacia el centro del planeta. Al ser una fuerza central y de módulo constante a lo largo de la órbita, la trayectoria que describe es una circunferencia recorrida con velocidad de módulo constante, y esa fuerza es precisamente la que hace de fuerza centrípeta.

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{v^{2}}{r}$

$r=\dfrac{G\,M_T}{v^{2}}$





Obsérvese que la masa $m$ del satélite se simplifica: la órbita que le corresponde a una velocidad dada es la misma sea cual sea la masa del satélite. Como $r$ se mide desde el centro de la Tierra, la altura sobre la superficie se obtiene descontando el radio terrestre:

$H=r-R_T=\dfrac{G\,M_T}{v^{2}}-R_T$

Conocida la velocidad orbital, la altura queda determinada por la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta; no es que haya dos fuerzas que se equilibren, sino que la gravitatoria es exactamente la que se necesita para curvar la trayectoria.

$\textbf{2. Calcular la velocidad orbital } \boldsymbol{v}\textbf{: Supón que la altura es } \boldsymbol{H=23\,222\ \text{km}}\textbf{. Calcula la velocidad a la que el satélite debe desplazarse para permanecer en órbita circular.}$

Se despeja la velocidad de la misma igualdad del apartado anterior, después de calcular el radio de la órbita.

$r=R_T+H=6{,}37\cdot10^{6}+2{,}3222\cdot10^{7}=2{,}9592\cdot10^{7}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{2{,}9592\cdot10^{7}}}=3{,}67\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El satélite Galileo debe desplazarse a $3{,}67\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, unos $3{,}7\ \text{km/s}$. Es una velocidad menor que la de un satélite bajo, como corresponde a una órbita media: cuanto más alta es la órbita, más despacio se recorre.

$\textbf{3. Evaluar la energía total necesaria: Calcula la energía requerida para llevar al satélite a la altura } \boldsymbol{H}\textbf{ y mantenerlo en órbita circular. Discute cómo esta energía incluye tanto la energía potencial gravitatoria como la energía cinética.}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica del satélite en órbita y la que tiene en reposo sobre la superficie terrestre. En órbita, la energía cinética y la potencial están ligadas por la propia condición de órbita circular:

$E_c=\dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac12\,\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=4{,}72\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E_p=-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-9{,}44\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E_{orbita}=E_c+E_p=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}=-4{,}72\cdot10^{9}\ \text{J}$

En la superficie, suponiendo el satélite en reposo, toda su energía es potencial:

$E_{superficie}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}=-4{,}38\cdot10^{10}\ \text{J}$

$\Delta E=E_{orbita}-E_{superficie}=-4{,}72\cdot10^{9}+4{,}38\cdot10^{10}=3{,}91\cdot10^{10}\ \text{J}$

Conviene desglosar esa cifra para ver de dónde sale. Subir el satélite hasta la órbita cuesta un aumento de energía potencial de $3{,}44\cdot10^{10}\ \text{J}$, y una vez allí hay que comunicarle además la energía cinética que le permite mantenerse, $4{,}72\cdot10^{9}\ \text{J}$. La suma de las dos contribuciones da los $3{,}91\cdot10^{10}\ \text{J}$ anteriores: no basta con elevar el satélite, hay que lanzarlo a la velocidad correcta.

$\textbf{4. Calcular el periodo orbital (}\boldsymbol{T}\textbf{): Determina el tiempo que tarda el satélite Galileo en completar una órbita completa alrededor de la Tierra.}$

El movimiento es circular uniforme, de modo que el periodo es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad orbital.

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot2{,}9592\cdot10^{7}}{3{,}67\cdot10^{3}}=5{,}06\cdot10^{4}\ \text{s}$

Se llega al mismo valor por la tercera ley de Kepler, que no es más que la misma igualdad de fuerzas escrita con el periodo en lugar de la velocidad:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G\,M_T}}=5{,}06\cdot10^{4}\ \text{s}$

$T=\dfrac{5{,}06\cdot10^{4}}{3600}=14{,}1\ \text{h}$

El satélite completa una vuelta cada $5{,}06\cdot10^{4}\ \text{s}$, es decir, algo más de catorce horas: da poco menos de dos vueltas diarias a la Tierra, que es el valor característico de las órbitas medias del sistema Galileo.